chapitre 19

De l’oscillation des pendules

2 453 un pendule est un corps grave suspendu a un fil, et attaché a un point fixe
au-tour duquel jl peut se mouvoir
par l’action de la gravité Lorsqu’on la mis une fois en mouvement.

3 454 Si le corps P, suspendu a un fil BP, est attaché au
point jmmobile B, et qu’estant tiré
de la position BP, perpendiculaire a l’horizon, jl
soit elevé en C, par exemple,
et ensuite abandonné a lui
meme, jl est certain qu’il descendra
vers la terre par la force de sa
gravité autant qu’il lui sera
possible.

4 Si ce corps etoit entierement libre, jl suivroit la
ligne perpendiculaire CL, mais
etant attaché en B, per le fil
BP, jl ne peut obeir qu’en partie
a l’effort de la gravité que le
porte dans cette ligne CL et jl est contraint de descendre par
l’arc CP.

5 Le corps P, en tombant de C, en P, par l’arc CP, a
acquis la meme vitesse que s’il
etoit tombé de la hauteur
perpendiculaire EP (§446) et
par consequent jl a la vitesse
necessaire pour Remonter a
cette meme hauteur, suposé que
quelque cause change sa
direction sans alterer sa vitesse (§ 368 mem. I°.) [300v/2]

6 Cette cause qui [ch]ange la direction
que la gravité imprime au corps P
est lefil BP. car lors que ce corps

est arrivé en P. il ne peut plus

descendre vers la terre, cependant

il conserve toute lavitesse que la gravité

lui aimprimé de C en P.

or si dans ce moment la gravité
cessoit dagir sur lui et quil ne fut plus

retenu par le fil BP ce corps suivoit
la ligne droite P. D.
tangeante du cercle CP. dans
lequel le corps semeut
le fil BP. mais oposant au point P un obstacle
invincible a laction dela gravité lorsque
le corps est arrivé en P, ce corps doit
sechaper par laligne BD, dont le fil BP
le ne tire au au 1er moment
pr lui faire comencer un autre tangeante donc il est
est [sic] atout moment retiré, [301r/269/3] ainsi le fil BP faisant changer a
tout moment de direction acecorps

il lui fait parcourir larc ducercle

PR, et cet arc PR est egal a

larc CP car ce corps, parlaforce

acquise en tombant de C en P

doit remonter alameme hauteur

dou il est tombe puis que la

gravité lui ote de P en R

[tout] ce quelle lui avoit

donné de C en P. (§.
Cest dela meme maniere apeu
pres que les corps celestes tournent

dans les Courbes autour du soleil sans

tomber dans cet astre come ie lexpliquerai

en parlant delastronomie.

7 Lors que le corps P. est arrive
en B[300v/2] toute la force qu’il avoit pour Remonter etant consumée, il tombera de nouveau en P, par
sa pesanteur, d’ou jl remontera
en C, et ainsi de suite cette allée et ce Retour du pendule BP, de C, en P, et de P, en
R, est ce qu’on apelle les
oscillations, les vibrations de
ce pendule, dont on voit que la pesanteur est lunique cause.

8 455 Le corps P, etant retenu par le fil BP, dans la circonferance du circle GBM,
dont ce fil est le Rayon, l’arc CPR, qu’il décrira sera un arc
de cercle.

9 456 Ainsi le fil BP, auquel le corps qui oscille est attaché,
est pour ce corps un obstacle
qui s’opose a la forcce qui le porte vers la terre,
est c’est cetter seule force de la
gravité qui fait faire des
vibrations a ce corps.

10 457 La ligne droite SBT, parallelle a l’horison, et passant par le point B, [301r/269/3] au-tour duquel le pendule BP. oscille, s’apelle l’axe de l’oscillation,
et le point B, auquel le fil BP, est
attaché, s’apelle le point de suspension.

11 458 Les pendules peuvent etre simples ou composés.

12 459 Les pendules simples sont ceux auxquels jl n’y a qu’un poids
de suspendu; et les pendules composés sont ceux auxquels plusieurs poids sont attachés a differentes
distances du point de suspension

13 Je vais comencer par parler des pendules simples.

14460 Si l’air ne resistoir point au mouvement du pendule, et
que le fil auquel jl tient n’eprouvat
aucun frottement a son point de
suspension B, on sent aisement
qu’un corps qui aurait commencé
a faire des oscillations de C. en
P. et de P. en R. les continûëroit
pendant toute l’éternité, puisqu’en tombant de C, en P, jl acquert la
vitesse necessaire pour Remonter de
P, en R, et qu’estant arrivé en R, il Retombe en P. par la force
de la gravité pour remonter ensuite en C par la force acquise en descendant,
et ainsi de suite sans jnterruption.

15 461 Mais comme nous ne connoissons point de corps exempt
d’attrition, et l’air dans lequel
les pendules oscillent resistant a
leur mouvement, tout pendule
etant abandonné a lui-meme
perd a la fin son mouvement,
et au-Bout d’un certain tems les
arcs qu’il décrit diminûënt, [301v/4] jusqu’a ce qu’enfin les arcs [devenant] jnfiniment petits, le pendule reste en repos dans la
direction perpendiculaire a
l’horizon qui est sa Direction naturelle.

16 462 On fait cependant abstraction de la resistance de l’air
et du frottement que le pendule
eprouve a son point de suspension,
lorsqu’on traite des oscillations des pendules, parcequ’on ne les
considere que dans un tems tres
court, et que dans un petit espace
de tems, ces deux obstacles ne
font pas un effet sensible sur le pendule.

17 463 Si les arcs du cercle CP. PG que le corps P. parcourt
dans les vibrations sont tres petits
jls difereront tres peu en longueur
est en inclinaison
des cordes MP.
BP. qui les soustendent, ainsi le
corps fera une demie oscillation
de C, en P, dans un tems
sensiblement egal a celui qu’il employeroit a parcourir la corde
MP. ou le diametre AP. du
cercle APG. dans lequel jl oscille (§443).

18 Le corps etant arrivé en P, Remontera de P. en C
dans un tems egal a celui qu’il
a employé a descendre de C, en P (§368 mem. I°.) et par consequent
dans le tems d’une vibration entiere
le corps pouvoit
parcourir quatre fois [302r/270/5] le diametre du cercle dans lequel jl oscille, ou 8. fois
la longueur du pendule qui est
le Rayon de ce cercle car les espaces parcourus sont comme les quarrés des tems (§363. mem. 4°.).

19 464 Jl suit de là qu’un pendule qui fait ses oscillations
dans des arcs de cercle tres petits
les fait dans des tems sensiblement
egaux, quoique les arcs qu’il
parcourt ne soient pas Egaux
car ces arcs etant parcourus dans des tems sensiblement egaux
a ceux que le corps employeroit a parcourir les cordes qui les soutendent, et
ces cordes etant toutes parcouruës en tems Egal (§443) Le pendule P parcourera
les petits arcs CPG. DPF dans des

tems sensiblement Egaux,ainsi
deux pendules d’egale
longueur que l’on fait osciller
dans des arcs de cercle
differens, font leurs vibrations
si egalement que dans cent
oscillations, a-peine differentils
d’une seule.

20 465 Les vitesses des corps qui oscillent dans des arcs de
cercle tres differens CB. DB.
sont entr’elles lorsqu’ils sont
arrivés au point B, comme les soustendantes de l’arc qu’ils ont
parcouru, car en tirant les lignes
horizontales CF. DE. les vitesses
que le corps a acquis en
tombant par les arcs CB. DB.
sont les memes que celles qu’il
auroit acquis en tombant
perpendiculairement de F. en
B. et de E. en B. (§448) or la
vitesse acquise de F. en B. est
a la vitesse acquise de G. en B.
en Raison sous doublée de GB.
a FB. (§363 mem. 4°.) ou comme CB.
est a GB. (§439) de-meme la
vitesse acquise de G. en B. est [302v/6] a la vitesse de G. en B. en Raison sous-double de EB.
a GB. c’est-a-dire comme DB.
est a GB. et par consequent
la vitesse de F. en B. est a celle
de E. en B. comme la corde
CB. est a la corde DB. mais
la vitesse acquise en tombant
par les arcs CB. DB. est egale
a la vitesse que le corps acquereroit
en tombant perpendiculairement
de F. en B. et de E. en B. (§454) donc les vitesses acquises en tombant par ces arcs sont
aussi entr’elles comme les cordes
CB. DB qui les soustendent.

21 466 Il suit de la que si dans le cercle GBR. on prend les arcs B1.
B2. B3. &cc. dont les
soustendantes soient respectivement
comme les nombres 1∙2∙3; &cc. les vitesses d’un pendule qu’on feroit descendre successivement par les arcs
1B. 2B. 3B. &cc. seroient au
point B, 1∙2∙ et 3∙ respectivemt.
c’est-a-dire comme les cordes
qui soustendent les arcs. On peut
donner aux corps par le moien des degrès de vitesse
precis et differens, et cette
methode est d’un grand usage
pour connaitre les loix
du chocq des corps dont je parlerai
dans la suite.

22 467 galilée fut le premier qui jmagina de suspendre un
corps grave a un fil, et de mesurer le tems dans les
observations astronomiques
et dans les experiences de[303r/271/7] phisique, par ses vibrations; ainsi on peut le Regarder comme l’inventeur des pendules, mais ce
fut mr huguens qui les fit servir
le 1er a la construction des horloges. Avant ce philosophe les mesures du tems etoient tres fautives ou tres penibles (§357) mais les horloges qu’il construisit
avec des pendules donnent une
mesure du tems jnfiniment
plus exacte que celle que l’on peut tirer du cours du soleil, car
le soleil ne marque que le tems
Relatif ou aparent, et non le
tems vrai ou absolu.
Voila pourquoi les horloges et pendules
retardent ou avencent quelquefois
de 15. ou 16. minutes sur le cours
du soleil, comme je l’expliquerai
plus en detail en parlant de l’astronomie.

23 468 Quoique les vibrations du meme pendule dans de
petits arc de cercle jnegaux
s’achevent dans des tems
sensiblement egaux (§464) cependant ces tems ne sont pas
egaux geometriquement, mais
les oscillations dans de plus
grands arcs se font toûjours
dans un tems un peu plus long
et ces petites differences qui
sont tres peu de chose dans
un tems tres court et dans de
tres petits arcs deviennent
sensibles, lorsqu’elles song accumulées pendant un tems
plus considerable, ou que les
arcs different sensiblement; [303v/8] or mille accidents, soit du froid, soit du chaud, soit de quelque
saleté qui peut se glisser entre les
Roûës de l’horloge peuvent
faire que les arcs décrits par
le meme pendule ne soient
pas toûjours egaux, et par
consequent le tems marqué par
l’éguille de l’horloge dont les
vibrations du pendule sont la
mesure, seroit ou plus court, ou
plus long, selon que les arcs
que le pendule décrit seroient
augmentés ou diminués.

24 469 L’experience s’est trouvée conforme a ce Raisonnement, car mr derham ayant fait osciller dans la machine de
Boyle un pendule qui faisoit
ses vibrations dans un cercle,
jl trouva que lorsque l’air etoit
pompé de la machine, les
arcs que son pendule decrivoit
Etoient d’un 5e. de pouce plus grands de chaque côté que
dans l’air, et que ses oscillations etoient plus lentes de deux
secondes par heure.
Les vibrations du pendule [etoient]
plus lentes de 6 secondes par
heure dans lair, lorsquon ajustoit le
pendule defacon queles arcs qu’il decrivoit
etoient augmentés decette meme
quantité d’une 5.e de pouce de chaque coté. [304r/372/9]

25 470 Mr. derham ayant mis sa montre
sous le reliqu[at] retrouva
aucune attraction dans son mouvemt, cequi semble prouver

que l’air na aucune

influence sur le ressort

des corps

et que lependule

ne parcourtdeplus grans arcs

dans le vide

que parce que Les corps y

tombent plus vite acause

que La resistence delair na

pus lieu dans ce vide.

26 471 Mr. derham remarqua de plus que les
arcs décrits par
son pendule etoient un peu plus
grands lorsquil avoit nouvellement nettoye le mouvement qui le
faisoit mouvoir.

27 472 Mr. huguens qui avoit prevû ces jnconveniens
jminagina pour y remedier, et
pour rendre les horloges aussi
justes qu’il est possible, de
faire osciller le pendule qui les regle dans des arcs de
cycloïde, au-lieu de lui faire
decrire des arcs de cercle, car dans la cycloïde tous les
arcs etant parcourus dans des
tems parfaitement egaux, (§476 1e. prop.) les accidents qui peuvent changer
la grandeur des arcs décrits
par le pendule ne peuvent
aporter aucun changement au [-304v-10-] tems mesuré par ses vibrations lorsqu’elles se sont dans des
arcs de cycloïde.

28 473 Cette courbe qui est tres fameuse parmi les geometres
par le nombre et la singularité de ses proprietés, se forme par
la Revolution d’un point quelconque d’un cercle dont la
circonference entiere s’aplique
successivement sur une ligne
droite.

29 Lorsque le cercle BO. parcourt 3. fois son diametre
sur la ligne droite BAb. en sorte que son point B,
par lequel jl touchoit cette ligne
au commencement de sa
Revolution se trouve toucer
l’autre extremité b. de cette
ligne quand la revolution
du cercle sur cette ligne est
achevée on voit aisement
que cette ligne BAb. sera
egale a la circonferance du
cercle BO, qui s’est apliquée successivement sur elle comme
pour la mesurer.

30 Si l’on concoit maintenant que le point B. du cercle BO qu’on apelle le point décrivant laissa a
tous les points par lesquels
jl passe en allant de B. en
b une production de lui-meme,
jl s’en formera la courbe BGb.
et c’est cette courbe qu’on apelle
une cycloide, les rouës dun carosse en tournant de crivent dans l’air des
cycloydes.

31 474 Le cercle BO. dont la revolution a formé la cycloïde BGb. s’apelle le
cercle generateur de cette
cycloïde, le point G. est [305r/273/11] son sommet, et la ligne horizontale BAb, est la base.

32 475 Si l’on conçoit le cercle generateur BO, parvenu dans
la revolution au point dans
lequel son diametre GA partage
la cycloïde et la Base en
deux parties egales, alors ce
diametre devient l’axe de la
cycloïde.

33 476 Si je voulois demontrer toutes les proprietés de cette
courbe jl faudroit en faire un
traité entier. Je me contenterai
donc d’indiquer ici celles qui sont necessaires au sujet que ie traite et de Renvoyer ceux qui voudroient en connaitre les démonstrations
a l’excellent livre de mr huguens de horologio oscillatorio.
et au traité que mr. Wallis a donné de cette courbe.

34 Ces proprietés sont [305v/12]

35 1° cette courbe se décrit elle-meme par son evolution, en-sorte que si CA, CN sont
deux demies cycloïdes renversées
formées par le meme cercle
generateur DA, lesquelles se Réünissent au point C, ayant
leur sommet en A, et en N,
et que l’on conçoive un fil CBA, egal a la demie
cycloïde CA, a laquelle je le
supose a l’extremité de ce
fil un poids P, ce fil
deviendra un pendule egal
a la demie cycloïde CA.
or si ce poids P. est abandonné
a lui-meme, jl tombera vers
la terre par la force de sa
gravité autant qu’il lui sera
possible, et en tombant jl [306r/274/13] deployera le fil CA, lequel en se deployant de A. en F. décrira
par son extremité auquel tient
le poids P, une courbe AF.N.

36 Si le poids P. qui a deployé le fil CBA, et qui l’a
amené dans la direction perpendi
culaire CF. continûë a se mouvoir
par l’action de sa gravité lorsqu’il
est arrivé en F. jl décrira en
Remontant de F. en N. egale a AF, et quand lepoint P sera arrivé au point
N le fil CBP sera apliqué a

lademie cicloyde CN alaquelle

il est egal, donc la courbe

entiere AFN sera

décrite par l’evolution et la Revolution de la demie cycloïde
CA, ou du fil CBP, qui lui est
egal, et cette courbe AFN.
se trouve etre une cycloïde egale aux
deux demies-cycloïdes CA, CN
et ayant le meme cercle generateur,
et elle est par consequent double
du fil CNP, egal achacune deces demies cicloydes.

37 Afin que
les pendules decrivent des arcs
de cicloyde dans leur Evolution
etleur revolution il faut queles
demies cicloydes contre les quelles
ils s’apuie[nt] sans cesse soient des
[lamines] de metail qui puissent
les empecher de decrire des
arcs decercle.

38 2° Il suit clairement dela proprieté dela cicloyde dont ie viens de parler que cette courbe est [306v/15] toûjours quadruple de son axe, ou du diametre de son cercle
generateur, et cela est demontré
aux yeux par la seule jnspection
de la fig. car lorsque le poids P. en tombant vers la terre
a entierement deployé le fil
CBP. et que le fil est parvenu
dans la direction CP perpendiculaire a l’horizon, alors ce fil est egal a
la ligne CF, a laquelle jl est
apliqué, mais cette ligne CF est double
de laxe DA puis que les 2 demie cicloide

CA, AF ont le meme cercle

generateur par la proprieté
precedente, donc la demie cicloyde

CA qui est egale aufil CP qui

lui etoit apliqué estdouble

deson axe, et parconsequent la cicloyde
entiere est quadruple decetaxe, ou

dudiametre deson cercle generateur.

On prouve encore que le fil CP est egal a lademie cicloyde CA
en prouvant que la partie CB qui [sic] decefil qui est deployée est egale a
l’arc de cicloyde AB cequi depend

dune autre proprieté de la cicloyde. [307r/275/15]

39 6° cette jsochronisme des
arcs dela cicloyde est

fondé sur la proprieté

de cette courbe par laquelle

toute tangeante de
la cicloïde est parallelle a la corde
de son cercle generateur comprise
entre le sommet de la cycloïde,
et le point auquel la parallelle
a la Base tirée du point de
tangeance couple la circonference
du cercle generateur ainsi la tangeante HBN est parallelle a lacorde EA dans la figure.

40 Cette proprieté se prouve par une demonstration
tres compliquée, cest detoutes les proprietés dela cicloyde la

plus [voile] a connaitre pr les pendules

puisquelle est lefondement delegalité
dutems dans lequel tous les

arcs dune cicloyde tout parcourus.

41 Car il suit de cette proprieté que [307v/16] dans une cycloïde renversée, et dont le sommet est en F.
la gravité agira sur les corps qui comencent atomber dun point quelconque de cette
courbe, comme du point H.
par Exemple de la
meme facon quelle agiroit
sur le corps sil partoit
du point G du cercle
generateur.

42 Quoique le corps qui part du point H delacycloyde reçoive
lameme impulsion delagravité
que celui que est sur lacorde GF du
cercle geneateur, cependant si
ces deux corps continuoient leur
chemin, lun par lacorde GF, lautre par larc deligne
de HKL, ils ne recevoient pas de tout le tems quils mettoient atteindre le point F les memes impulsions
dela pesanteur, car le corps qui parcourt
lacorde GF recoit achaque instant
des impulsions qui sont les memes
parceque linclinaison de cette corde
ne change point, aulieu que
celui qui parcourt l’arc ducicloyde
HF recoit des forces acceleratrices
diferentes achaque point decetarc
dont linclinaison augmente aucune quil aproche dusomet E mais
quelecorps recoit a chaque point ces impulsions de la [pesanteur] decet arc
de cicloydes [308r/276/17] sont les memes que celles quil recevoit [en] parcourant
la cordes [sic] du cercle generateur

qui corespond a chacun de ces points

cequi est une faite de paralelisme

des tangeantes dela cicloyde et des

cordes du cercle generateur qui leur

correspondent.

43 Ainsi un corps en partant d’un point quelconque de
la cycloïde DFO, aura des vitesses
jnitialles qui seront proportionelles
a son eloignement du sommet
et cela parceque les arcs de la
cycloïde sont d’autant plus inclinés
qu’ils sont plus petits, car on a vû dans le (ch 16 §415) que
l’energie de la gravité, sa force
pour faire arriver les corps au
centre de la terre, a dautant moins deffet que le plan jncliné
qui soutient le corps est plus
horizontal, or la cycloïde, comme
toute autre courbe n’est qu’une
jnfinité de plans jnclinés
contigus; son effet en pacrcourant cette courbe,
le Corps donc recevra des impulsions delapeseanteur
dautant moins fortes que les arcs quil
parcourera seront plus inclinés, cest a
dire quils seront plus prés de son somet. [308v/18]

444° Le tems de la chute d’un corps par l’arc quelconque dune cicloyde renversée et
dont le sommet
est en A est au tems de
sa chute perpendiculaire par sone axe comme la demie
circonference du cercle est a
son diametre. [309r/277/19]

455°. Jl suit de cette proprieté de la cicloyde dont on peut voir la demonstration dans mr. hugens que dans
une cicloyde Renversée, tous
les arcs, quelques differens qu’ils soient, sont parcourus par un corps qui tombe vers laterre par
son propre poids dans
des tems parfaitement egauy, car
puisque le tems de la chute
du corps par un arc quelconque
de la cicloïde est au tems de la chute perpendiculaire,
par l’axe dans une raison constante, ces tems sont egaux entr’eux. [309v/20]

46 Donc il suit avec evidence que si deux corps qui partent en meme tems des points
H. et B. de la cycloïde DFO.
avec des vitesses jnitialles
proportionelles aux arcs HF. BF. continuoient a tomber
d’un mouvement uniforme avec
ces vitesses, jls arriveroient
en F, dans le meme tems,
or comme on peut faire le
meme Raisonnement sur tous
les points de la cycloïde DF
tous les corps qui tombent dans
cette cycloïde doivent atteindre
en meme tems son sommet F.
quelque soit le point d’ou jls partent.

47 Je me suis arreté a prouver cette 6e. proprieté de la cicloyde, parceque c’est
celle qui sert le plus a la
justesse des pendules qui font
leurs vibrations dans cette courbe (§472) et je [n’ai] meme
jndiqué les autres
que pour faciliter l’intelligence
de celle-là.

48477 Je ne pous passer sous silence une des plus Belles
proprietés de la cicloyde, et
assurement celle qui est la
plus surprenante de toutes, [310r/278/21] c’est que cette courbe est la ligne de la plus vite descente d’un
point a un autre.

49478 Le probleme de la ligne de la plus vite descente
d’un corps tombant obliquement
a l’horizon par l’action de la pesanteur d’un point donné
a un autre point donné, est
fameux par l’erreur du grand
galilée qui a cru que cette ligne
est un arc de cercle, et par les differentes solutions que les
plus grands geometres de
l’europe en ont donné, on trouvera les solutions
dans les acta eruditorum, et dans les transactions philosophiques on y verra que tous ces grands
hommes arriverent au meme But
par differens chemins, et que
touts trouverent que cette ligne
est d’une demie-cycloïde
Renversée qui a pour origine
et pour sommet les deux points
donnés.

50479 La solution de ce probleme semble une espece de
paradoxe, puisqu’il s’ensuit que
la ligne droite qui est toûjours
la plus courte n’est pas cependant celle qui est parcourûë dans
un moindre espace de tems, et
cela etonne d’abord un peu
l’imagination, cependant la
geometrie le demontre, et jl n’y
a pas en apeller, et cela dépend de la6e proprieté de la cicloyde par laquelles [sic] les vitesses jnitialles d’un corps a un point
quelconque de cette courbe sont [310v/22] proportionelles aux arcs qui lui restent a parcourir.

51 480 Ainsi la ligne de la plus vite descente est aussi celle dont tous les arcs sont parcourus en tems egaux, et jl est utile de
Remarquer que ces deux proprietes
qui dependent visiblement
du meme principe, je veux dire
des vitesses jnitiales proportionelles
aux arcs a parcourir, ne se
trouvent Reünies dans une
meme courbe, qu’en suivant le
sisteme, ou pour mieux dire,
les découvertes de galilée sur
la progression de la chute
des corps.

52 481 Le fameux mathematicien Jean Bernoülli qui avoit proposé le probleme de la ligne de la plus vite descente,
le Resolut par la
dioprique, en démontrant que
la courbe que les Rayons
doivent decrire en traversant latmosphere
est une cicloyde;
ce crand geometre suposoit dans cette solution que la lumiere devoit se transmettre
en traversant diferens milieux par la chemin du plus court tems,
ainsi que mr. de
fermat l’avoit pretendu contre
mr. dès-cartes, et comme mrs. huguens et leibnits l’avoient aussi soutenu
depuis fermat.

53 482 L’on sent aisement avec quel plaisir mr. de leibnits [311r/279/23] adopta un sentiment qui prenoit sa source dans la raison suffisante, car fermat pretendoit que puis que le
rayon ne va d’un point a un autre

ni par le chemin directe, ni parle

plus court, il etoit convenable

ala sagesse delauteur delanature

quil y allat par lechemin quil parcourt

dans le moins de tems possible, mais

cest pourtant ce qui se troube faux par les principes de mr. neuton, mais

ce n’est pas ici le lieu dentrer dans cette dis cu tion [sic], on peut voir ce que mr. de mairan a raporté de cette dispute dans les memoires de lacademie des sciences
année 1723 et ceque ns
en devons dans celivre, ou ns
parlerons de la refraction delalumiere.

54 483 On a vu a la (§476. 1ere propr) qu’afin qu’un pendule décrive
des arcs de cicloyde, jl est necessaire qu’il soit suspendu entre
deux demies cycloydes, (comme dans la fig. 2.) lesquelles etant
ordinairement de metail, l’empechant
de décrire un arc de cercle.

55 Or quoique les deux demies cicloydes CA. CN. empechent
le corps P. de dèscrire l’arc
de cercle EFL. cependent jl ya
toûjours vers le sommet de la cicloyde un petit espace dans
lequel le pendule se meut
de la meme façon
que s’il oscilloit librement dans
le cercle EFL. ainsi le petit
arc PBP. du cercle EFL. est
presque coïncident a l’arc PFP..
de la cicloyde AFH et la courbure
est egale a celle de
cet arc, est c’est là la veritable
Raison pour laquelle les osciallations
du pendule dans de tres petits [311v/24] sensiblement egaux, comme je l’ai dit (§464).

56 Voila pourquoy on ne suspend gueres
les grans pendules entre des

cicloyde [sic], la petitesse des arcs quils

decrivent suffisant pr rendre leurs

vibrations isochrones, et cenest que dans
les petites horloges dont le pendule

est tres court que L’on se sert des demi

cicloydes.

57 484 Jl suit de l’egalité du petit arc du cercle PFP.
avec cette portion de la
cicloyde AFD, que le tems
pendant lequel un corps fait
une oscillation dans un tres
petit arc de cercle est
au tems de la chute perpendiculaire par la demie longueur du
pendule comme la
circonference du cercle est a
son diametre, ou comme
355. est a 113. c’est-a-dire environ
come 3. est a 1. puisque le
tems d’une oscillation dans une
cicloïde suit cette
proportion (6e proprieté).

58 485 Cette proportion du tems des [312r/280/25] oscillations dans un trespetit arc du cercle aux tems des oscillations dans de petits arcs de cicloyde

etoit necessaire a trouver pour en déduire, comme
fit mr. hughens, l’espace que la
gravité fait parcourir jci-Bas
dans la 1ere seconde aux corps qu’elle
fait tomber vers la terre (§378)
car les pendules qui font leurs
oscillations par la seule force de
la gravité décrivent des arcs de
cercle, et non pas des arcs de
cicloïde (§493). [312v/26]

59 486 La durée des oscillations de 2 pendule [sic]
qui oscillent dans des arcs de cercle semblable

sont en raison sous doublée de la

longueur de Ces pendules.
On a vû dans le (ch. 13. §363) qu’un corps qui tombe
vers la terre par la seule force
de sa gravité, parcourt en
tombant des espaces qui sont
comme les quarrès des tems
employés a tomber, ou des
vitesses acquises en tombant
a la fin de chacun de ces
tems.

60 Or dans les oscillations des pendules les espaces
parcourus sont des arcs de cercle

dont les rayons sont les

longueurs des pendules,
ainsi le tems dela chute par larc EB est
autems dela chute par l’arc semblable CD en

raison sousdoublée de EB a GD et parconsequent

en raison sousdoublée de AB a CD (malezieux) car ces arcs
sont entre eux come les rayons on voitaisement que cequi est vrai pr les demies oscillations E. B. G. D. lest aussi pr les oscillations entieres EBF GBF ainsi les longueurs despendules qui

decrivent les arcs de cercle semblable sont entrelles en raison doublée des tems de leurs oscillations et par consequent le tems lune oscillation [...] pendule AB, qui se supose des pieds cera autres que
le pendule CD qui est suposé en avoir 4 mettra a
faire une oscillation come 3 et 2 respectivement [313r/281/27] car les quarrés de ces tems sont 9. et 4.
longueurs des pendules.

61 487 Il suit de la que les pendules les plus longs sont toûjours ceux dont les oscillations
sont les plus lentes car ils
se meuvent sur un arc, ou sur un plan
dela meme longueur et plus
incliné que les [pendules] plus courts
donc il faut que le pendule qui fera
les vibrations en une seconde ait
une certaine longueur determinée,
puisque la longueur des pendules
decide du tems de leurs vibrations.

62 488 Mr. picard auroit determiné cette longueur pour le pendule qui
Bat les secondes a paris, a 3.
pieds de paris 8 l. ½ (§348 et ce
fut cette determination et la
proportion que mr hughens avoit trouvé entre
le tems dune oscillation
etla 313v[28] quantité de la chute verticalle (§378) qui lui donna l’idée de
fsire de la longueur du
pendule qui fait ses vibrations en une second a paris une
mesure universelle pour tous les
pays et pour tous les tems,
et pour Rendre cette mesure
univoque, jl avoit donné le nom de pied horaire au tems de cette longueur.

63 489 Mais afin que cette mesure
fut universelle il faudroit

que la pesanteur fut lameme

a tous les points dela surface

delaterre or

la pesanteur etant la seule cause de
l’oscillation des pendules (§454)
et cette cause etant suposée
rester la meme, jl est certain
que la longueur du pendule
qui Bat les secondes devoit
etre jnvariable, et la meme
dans tous les pays, et que
par consequent la mesure
qui en Resultoit devoit etre
universelle pour tous les pays,
pour tous les tems, car nous
n’avons aucune observation qui
puisse nous porter a croire que
l’action de la gravité soit
differente dans les memes
lieux en differens tems.

64 490 Il faut avouer que rien ne seroit plus [desirable]
quecette mesure universelle, mais la
suposition necesssaire pour la rendre [belle],
je veux dire
la pesanteur egale dans toutes les regions
de la terre, se [314r/282/29] trouve entierement fausse, car des observations jncontestables ont
fait connoitre que l’action de la
pesanteur est differente dans
differens climats, et qu’il faut
toujours allonger le pendule vers
le pole, et le racourcir vers
l’equateur, afin qu’il fasse les vibrations en tems egal. Ainsi cette
mesure proposée par mr. huguens ne peut etre universlle pour
tous les endroits de la terre, mais
seulement pour les pays situès
dans la meme latitude que paris,
puisque c’est a paris que la longueur dupendule avoit eté
determiné
et pour Rendre cette mesure
universelle, ce qui est assurement
tres desirable, jl faudroit avoir
des tables de differences des
longueurs du pendule qui Battoit
les secondes dans les differentes
latitudes dans les deux hemispheres en Rapportant toutes ces longueurs a la longueur du pendule
qui Bat les secondes a paris.

65 C’est un projet dont l’execution auroit plus dune utilité pr la phisique (§577. et 578), et
les academies
de l’europe devroient le Reünir, pour l’executer car jl faut pour ces operations des
mains tres exercées, et des esprits tres attentifs, et jl n’est nullement
aisé de determiner ces longueurs par l’experience avec la precision necessaire pour
en faire sentir les differences,
qui dependent quelque fois d’un
quart de ligne.

66 491 Jl faut surtout pour y parvenir avoir etabli Bien [314v/30] surement la longueur du pendule qui bat les secondes dans une
certaine latitude, et c’est ce que
nous pouvons nous
flatter d’avoir pour la latitude de paris
depuis les experiences que mr.
de mairan a fait en 1735. pour la determiner, mr. picard et mr. richer avoient deja donné
cette longueur mais dans les choses qui

dependent delexperiences, il ne suffit

pas davoir raison, il faut etre bien

sur delavoir, et ou navoir point

encore sur la longueur

du pendule a paris
cette sorte de certitude qui ne laisse Rien a desirer.

67 492 Pour connoitre la quantité de l’action de la pesanteur
dans un certain lieu, jl ne sufit pas
d’avoir une horloge a pendule
qui Batte les secondes avec
justesse, car ce n’est pas la seule
pesanteur qui meut le pendule
d’une horloge, mais l’action du Ressort, et en general tout
l’assemblage de la machine
agit sur lui; et se mesle a
l’action de la gravité pour le
mouvoir, et c’est un probleme tres
difficile et tres delicat de
déterminer combine en vertu de
la construction de l’horloge la
longueur du pendule qui Bat
les secondes de cette horloge, est alterée par Raport a celle d’un pendule qui feroit ses
oscillations dans le meme tems
par l’action de la seule pesanteur,
cependant c’est cette longueur
qu’il faut trouver pour connoitre
la quantité de l’action de la
pesanteur dans l’endroit pour
lequel on veut determiner la [315r/283/31] longueur du pendule a secondes.

68 493 On se sert pour y parvenir d’un corps grave suspendu a un fil,
lequel etant tiré de son point de
Repos fait ses oscillations en un tems
determiné, on se sert d’une horloge
a pendule qui batles secondes Bien juste accord avec ce mouvemt des Etoiles fixes
et lon compte
le nombre d’oscillations que
le pendule sur qui
la seule pesanteur agit, et qu’on
apelle pendule d’experience a fait
pendant que ce pendule de lhorloge a battu uncertain
nombre de secondes car le nombre des oscillations que les
pendules font en tems egale etant en raison sous double inverse de
leurs longueurs, lorsque l’on
connoit (486
le nombre d’oscillations que deux pendules font dans un tems donné,
on connoit en
quelle Raison sont leurs longueurs,
ainsi les quarré [sic]
des oscillations que le
pendule de l’horloge et le pendule
d’experience font en tems egaux
donnent le Raport entre la longueur
du pendule d’experience, et la longueur d’un pendule qui par

la seule force dela pesanteur feroit

lememe nombre devibrations

entems egal quele pendule

de lhorloge, etqui par consequent

battroit les secondes dans la

latitude oulon fait lexperience

et cette longueur est celle du pendule que lon chercha
315v[32]

69 494 C’est de cette façon que mr. de mairan a determiné la longueur
necessaire au pendule pour Battre
les secondes a paris par la
seule action de la pesanteur a 3. pieds 8. lignes, et a 17/30 ou environ 5/9 d’un
fil de pite (qui est une cote de
feüille d’aloës) presqu’aussi
delicée qu’un cheveu, et auquel
une Boule de cuivre d’un pouce
de diametre etoit suspenûë.

70 §495 Cette longueur tient apeu prés lemilieu
entre celle que mrs. picard et richer
avoient donnés, et l’on la prend

de 3p. 8 L. 5/9 elle estlameme que

celle que mr. neuton

raporte au 3e

livre deses principes daprés

les mesures desmrs. varin et des

hayes prisesen 1682.

71 496 On peut voir dans l’excellent memoire de mr.
de mairan toutes les precautions
qu’il a prix pour s’assurer de
la justesse de ses experiences, et on verra que les desires de
ceux qui ne prennent que la peine
de desirer ne peuvent pas
meme aller au-de-là.

72 C’est a ces mesures que les academiciens
qui sontallés mesurer les degrés
de la terre alequateur et au pole
Raportent toutes les observations
qu’ils font sur la longueur du
pendule dans ces differens
climats.

73 497 Tout ce qui a eté dit [316r/284/33] jusqu’a present sur les pendules, ne doit s’entendre que des pendules
simples, c’est-a-dire des pendules
auxquels un seul poids est
suspendu, et dont le fil est
suposé exempt de toute pesanteur,
car lorsque le fil auquel le
poids et attaché a une pesanteur
sensible par Raport a ce poids,
alors le pendule simple devient
un pendule composé (§459) puisque le poids du fil qu’il faut alors compter fait le meme effet
qu’un second poids qui tiendroit au
meme fil, et que les pendules
composés ne sont autre chose que
des pendules auxquels plusieurs
poids sont attachés a des distances
jnvariables tant les uns des autres
que du point de suspension &cc.

74 498 Les pendules composés suivent les memes loix que les
pendules simples, mais jls les
suivent avec de certaines modifications.

75 499 Pour déterminer le tems des oscillations d’un pendule
composé, et les arcs qu’il décrit jl
faut considerer une chose dont je
n’ai point encore parlé par ce
qu’elle apartient principalement
aux pendules composés, c’est le
centre d’oscillation.

76 500 Le centre d’oscillation d’un pendule composé est le point
dans lequel les efforts ou actions
des poids qui le composent se
Reünissent pour faire faire a ce
pendule les vibrations dans un certain tems ainsi
le centre d’oscillation et [316v/34] le centre de gravité ont un Raport necessaire.

77 501 On apelle centre de gravité le point par lequel passe
necessairement la ligne qui
partageroit le corps en deux
parties egalement pesantes,
en-sorte que si chaque moitié etoit
mise dans le Bassin d’une
Balance, elles se [...] en
equilibre.

78 502 Toute la gravité d’un corps peut etre conçûë Rassemblée
dans ce seul point, en-sorte que
les autres parties soient considerées,
comme en etant entierement privées,
et c’est ains que l’on conçoit la
pesanteur des pendules simples.

79 503 Le centre de gravité d’un corps est toûjours dans une ligne
perpendiculaire a l’horizon,
en sorte que ce corps peut etre
soutenu, soit qu’il soit suspendu
par le point meme de son centre
de gravité, soit qu’il le soit par
un point quelconque de cette ligne,
qu’on apelle ligne du centre.

80 504 Le centre d’oscillation est toujours dans cette figure du centre.

81 505 Quand deux ou plusieurs corps tiennent ensemble, soit qu’ils
soient contigus, soit qu’ils soient separés,
jls ont un centre de gravité
commun. Ce centre est un point
quelconque dans la figure doite
qui joindroit les centres de ces corps;
et ce point est toûjours situé de
façon que la distance
du corps a ce point est toûjours
en Raison Reciproque de leur
gravité. [317r/285/35]

82 506 Le centre d’oscillation d’un pendule simple dont le fil est
suposé sans pesanteur )ce qui est le
cas ordinaire)
n’est cependant pas
dans le point de son centre de gravité, comme on le croiroit d’abord;
mais dans la ligne de ce centre
de gravité, un peu plus Bas que
le point du centre, duquel jl est
plus loin ou plus pres, selon
une certaine proportion entre le
Rayon de la Boule qui compose
le pendule et la longueur du fil
auquel elle est attachée, et cela
parcequ’il faut avoir egard a la
distance du centre de gravité de
la Boule au point de suspension,
car cette distance sera d’autant
plus grande, la longueur du fil
Restant la meme, que le rayon
de la Boule sera plus grand, et
au-contraire c’est a mr huguens a qui on doit encore cette remarque, et c’est lui qui a determiné cette
proportion.

83 507 La veritable longueur du pendule simple n’est donc
pas la longueur du fil depuis le
point de suspension jusqu’au point
auquel la Boule y est attachée
ny jusqu’au centre de gravité de
cette Boule, mais cette longueur est
a compoter depuis le
point de suspension jusqu’au centre
d’oscillations, lequel n’est le meme
que le centre de gravité que
lorsque la longueur du fil excede
a un certain point le Rayon de
la Boule, car alors l’abaissement [317v/36] du centre d’oscillation devient jnsensible, et n’est plus a compter.

84 508 Quand le fil du pendule simple a un pesanteur qui
peut etre sensible par Raport
a celle du poids qui y est
attaché, alors ce pendule n’est plus un pendule simple, mais jl devient
un pendule composé (§499) et
son centre d’oscillation n’est
plus alors dans la Boule
suspendûë, mais sur le fil meme dans un point quelconque
au-dessus de cette boule, c’est-
a-dire dans le point ou l’on
conçoit que l’action de la
gravité du fil et du poids se
Rassemble, et ce point est
d’autant plus haut que le poids
du fil est plus grand par raport
a celui de la Boule, et au-contraire.

85 Dans ce cas la vraye longueur du pendule est la
distance qui se trouve entre
le point de suspensoin, et ce
centre d’oscillation, et les oscillations
de ce pendule seront plus promptes,
car alors la vraïe longueur du
pendule sera moins grande (§487).

86 509 on a vû (§487) qu’un poids suspendu a un fil fait
ses oscillations d’autant plus
lentes que ce fil est plus long,
ou, ce qui Revient au meme,
que le corps est plus loin du
point de suspension, et au
contaire; ainsi si a un fil [318r/286/37] CA, long de 4. pieds, par exemple, qui porte un poids P, a son extremité,
on ajoute en B, un second poids B
un pied plus haut, c’est a-dire a 3. pieds du point de suspension doit
faire ses oscillatoins plus lentes
que le corps B, qui n’en est qu’a
3. pieds (§487) cependant ces
deux poids tenant a un meme fil,
le fil ne peut pas faire ses
vibrations plus longues et plus
courtes en meme tems; jl les fera
donc dans un tems qui tiendra
le milieu entre la lenteur avec
lequelle jl eut oscillé si le poids
P. attaché a 4. pieds du point
de suspension y eut ete seul, et
la promptitude dont ses oscillations
eussent eté, s’il n’avoit eu que le
poids B, attaché en [...], ainsi
le second poids hate les vibrations
du premier, et le premier retarde
celles du second, et le centre
d’oscillation de ce pendule sera
dans le point dans lequel,
si ces
deux poids etoient Réünis, le
pendule simple qu’ils composeroient
alors feroit ses vibrations dans un
tems egal au tems des vibrations
du pendule composé auquel jls
tiennent separement ainsi chercher
le centre d’oscillation d’un pendule composé, c’est chercher la longueur
d’un pendule simple qui feroit
ses vibrations (note 18) dans un tems egal a celles dece pendulecomposé [318v/38] et la veritable longueur du pendule composé
est celle du pendule simple qui lui
seroit jsochrone, note comme le pendule CR. par example au pendndule
CBA. or comme les quarrés
des tems de leurs oscillations,
on voit aisement que le pendule
simple CR, dont les vibrations
seroient jsochrones a celle du
pendule composé CBA, auroit
plus de 3. pieds, et moins
de 4. puisque ses oscillations
ne seroient ny si lentes que
celles du poids attaché a 4.
pieds, ny si promptes que
celles du poids attaché a 3.
ainsi un pendule simple est
toûjours plus court que le
pendule composé auquel jl est
jsochrone, et par consequent le
centre d’oscillation du pendule
composé CBA, sera entre les
deux poids P. et B. c’est a dire
environ au point O.

87 510 D’ou l’on voit que pour déterminer ce qui arrive aux
pendules compsés, jl faut que
nous les décomposions, car nous
ne pouvons voir les objets que
par parties,
et pour considerer
le composé il faut toujours que ns le simplifions.

88 511 On sent aisement que dans le pendule CBA; composé
de deux poids, plus l’un des poids est pres du point de [319r/287/39] suspension, c’est-a-dire plus les deux poids sont loin l’un de
l’autre, plus le centre d’oscillation
est pres du point de suspension,
et au-contraire en sorte que ci ces
2. poids etoient egalement loin
du point de suspension, leurs
centres d’oscillations se confondroient,
et le pendule composé deviendroit
un pendule simple, puisque
le pendule simple qui lui seroit jsochrone seroit de la
meme longueur que lui

89 512 Ainsi tout pendule simple peut etre consideré comme un pendule composé,
en suposant le poids suspendu
divisé en plusieurs parties, dont
les differentes gravitès se
Réünissent dans le centre de
gravité de ce corps.

90 513 Tout ce qu’on dit d’un pendule composé de deux poids,
on peut le dire d’un pendule
composé de 3. et 4. ou d’un nombre quelconque de poids, car
les proportions sont toûjours
jnviabolement les memes (note 19).

91 514 Dans tout ce qui a eté dit sur les pendules dans
ce ch. on n’a point determiné
poids ny lespece des
corps suspendus, car la resistence
de l’air etant presque jnsensible [319v/40] sur les pendules, et la gravité se proportionnant aux masses,
tous les corps, de quelque espece,
et de quelque grosseur qu’ils soient, font leurs vibrations egalement vite,
toutes choses
d’ailleurs egales, ce qui est
encore une preuve que la
gravitation agit selong la
quantité directe de la matiere
(§371 num. I) car toutes les veritès se
donnent mutellement la
main.