chapitre 18

De l’oscillation des pendules

2§. 443.

3 Un pendule est un corps grave, suspendu à un fil, & attaché à un point fixe autour du quel il peut se mouvoir par l’action de la gravité, lorsqu’on l’a mis une fois un en mouvement.

4 §. 444. Si le corps P. suspendu à un fil BP. est attaché au point immobile B. & qu’etant tiré de la position BP. perpendiculaire à l’horison, il soit élevé en C. par exemple, & ensuite abandonné à lui-même, il est certain qu’il descendra [355]vers la terre par la force de sa gravité autant qu’il lui sera possible.

5 Si ce corps étoit entiérement libre, il suivoit la ligne perpendiculaire CL. mais étant attaché en B par le fil BP. il ne peut obéir qu’en partie à l’effort de la gravité qui le porte dans cette ligne CL. ainsi, il est contraint de descendre par l’arc CP.

6 Le corps P. en tombant de C. en P. par l’arc CP. a acquis la même vîtesse, que s’il étoit tombé de la hauteur perpendiculaire EP. & par conséquent il a la vîtesse nécessaire pour remonter à cette même hauteur, par la même courbe en tems égalm supposé que quelque cause change sa direction sans altérer sa vîtesse (§. 319. n. 1.). Cette cause, qui change la direction que la gravité imprime au corps P. est le fil BP. car lorsque le corps est arrivé en P. il ne peut plus descendre vers la terre; cependant il conserve toute la vîtesse, que la gravité lui avoit imprimée de C. en P. Or, si dans ce moment la gravité cessoit d’agir sur le corps, & qu’il ne fût plus retenu par le fil BP. il suivroit la ligne droite PD. tangente du cercle CP. dans lequel le corps se meut (premiere loi §. 229.); mais le fil BP. opposant au point P. un obstacle invincible à sa gravité, le corps tend à s’échapper par la tangeante PD. dont le fil BP. le rétire au premier moment pour lui faire commencer une autre tangente, dont il est à tout moment retiré: ainsi, le fil BP. faisant changer à tout mo- [356]ment de direction à ce corps, il lui fait parcourir l’arc du cercle PR. & cet arc PR. est égal à CP. car ce corps par la force acquise en tombant de C. en P. doit remonter à la même hauteur d’où il étoit tombé, puisque la gravité lui ôte de P. en R. tout ce qu’elle lui avoit donné de C. en P. (§. 318.).

7 C’est de la même maniére à peu près que les corps célestes font leur révolution dans des courbes autour du Soleil sans tomber dans cet astre, comme je l’expliquerai en parlant de l’Astronomie.

8 Lorsque le corps P. est arrivé en B. toute la force qu’il avoit pour remonter étant consumée, il tombera de nouveau en P. par la pesanteur, d’où il remontera en C. & ainsi de suite. Cette allée & ce retour de Pendule BP. de C. en P. & de P. en R. est ce qu’on appelle les oscillations, les vibrations de ce Pendule, dont on voit que la pesanteur est l’unique cause.

9 §. 445. Le corps P. étant retenu par le fil BP. dans la circonférence du cercle GPM. dont ce fil BP. est le rayon, l’arc CPR. qu’il décrira sera un arc de cercle.

10 §. 446. Ainsi, le fil BP. auquel le corps qui oscille, est attaché, est pour ce corps un obstacle, qui s’oppose à la force qui le porte vers la terre, & c’est cette seule force de la gravité, qui fait faire des vibrations à ce corps. [357]

11 §. 447.La ligne droite SBT. parallele à l’horison, & passant par le point B. autour duquel le Pendule BP. oscille, s’appelle l’axe d’oscillations & le point B. auquel le fil BP: est attaché, s’appelle le point de suspension.

12 Dans les Pendules on considere le poids du corps suspendu comme étant concentré en un seul point.

13 §. 448. Les Pendules peuvent être simples ou composés.

14 §. 449. Les Pendules simples sont ceux ausquels il n’y a qu’un poids suspendu, & les Pendules composés sont ceux ausquels plusieurs poids sont attachés à différentes distances du point de suspension.

15 §. 450. Si l’air ne résistoit point au mouvement du Pendule, & que le fil auquel il tient n’éprouvât aucun frottement à son point de suspension, on sent aisément qu’un corps qui auroit commencé à faire des oscillations de C. en P. & de P. en R. les continueroit pendant toute l’éternité, puisqu’en tombant de C. en P. il acquiert la vitesse nécessaire pour remonter de P. en R. & qu’étant arrivé en R. il rétombe en P. par la force de sa gravité, pour remonter ensuite en C. par la force acquise en descendant, & ainsi de suite. [358]

16 §. 451. Mais comme nous ne connoissons point de corps exempt de frottement, & que l’air dans lequel des Pendules oscilent, résiste a leur mouvement, tout pendule étant abandonné à lui-même perd à la fin son mouvement, & au bout d’un certain tems les arcs qu’il décrit diminuent, jusqu’à ce qu’enfin les arcs devenant infiniment petits, le Pendule reste en repos dans la direction perpendiculaire à l’horison qui est sa direction naturelle.

17 §. 452. On fait cependant abstraction de la résistance de l’air & du frottement, que le Pendule éprouve à son point de suspension, lorsqu’on traite des oscillations des Pendules parce qu’on ne les considere que dans un tems très court, & que dans un petit espace de tems ces deux obstacles ne sont pas un effet sensibles sur le Pendule.

18 §. 453. Si les arcs du cercle CP. PG. que le corps P. parcourt dans ses vibrations sont très petits ils différeront très peu en longueur & en inclinaison des cordes MPRP qui les soustendent ainsi le corps fera une demie oscillation de C. en P. dans un tems sensiblement égal à celui qu’il employeroit à parcourir la corde MP. ou le diametre AP. du cercle ACP. dans lequel il oscille (§. 433). [-359-]

19 §. 454. Il suit de là qu’un Pendule, qui fait ses oscillations dans des arcs de cercle très-petits, les fait dans tems sensiblement égaux, quoique les arcs qu’il parcourt ne soient pas égaux; car ces arcs étant parcourus dans des tems sensiblement égaux à ceux que le corps employeroit à parcourir les cordes qui les soustendent, & ces cordes étant toutes parcourues en tems égal (§. 433.) le Pendule P. parcourera les petits arcs CPG. DPF. dans des tems sensiblement égaux; ainsi deux Pendules d’égale longueur que l’on fait osciller dans de petits arcs de cercle différens, font leurs vibrations si également, que dans cent vibrations, à peine différents-ils d’une seule.

20 §. 455. Les vîtesses des corps qui oscillent dans des arcs de cercle différens CB. DB. sont entre elles, lorsqu’il sont arrivés au point B. comme les soustendantes de l’arc qu’ils ont parcouru; car en tirant les lignes horisontales CF. DE. les vîtesses que le corps a acquis en tombant par les arcs CB. DB. sont les mêmes que celles qu’il auroit acquis en tombant perpendiculairement de F. en B. & de E. en B. (§. 438.). Or la vîtesse acquise de F. en B. est à la vîtesse acquise de G. en B. en raison sous doublée de G. en B. en raison sous doublée de GB. à FB. (§. 315. num. 4°.) ou comme la ligne CB. est à la ligne GB. (§.429.); de même la vîtesse acquise de E. en B. est à la vîtesse de G. en B. en raison sous-doublée de EB à GB. [360]c’est-à-dire, comme la ligne DB. est à la ligne GB. & par consequent la vîtesse de F. en B. est à celle de E. en B. comme la corde CB. est à la corde DB. mais la vîtesse acquise en tombant par les arcs CB. DB. est égale à la vîtesse que le corps acquereroit en tombant perpendiculairement de F. en B. & de E. en B. (§. 444.). Donc les vîtesses acquises en tombant par ces arcs sont aussi entre elles comme les cordes CB. DB. quie les soustendent.

21 §. 456. Il suit de là, que si dans le cercle GB. on prend les arcs B1. B2. B3. dont les soustendantes soient respectivement 1. 2. 3. &c. les vîtesses d’un Pendule qu’on seroit descendre successivement par les arcs 1B. 2B. 3B. &c. seroient 1. 2. & 3. respectivement au point B. c’est-à-dire, comme les cordes qui soustendent ces arcs. On peut donner aux corps par ce moyen des degrés de vîtesse précis & différens, & cette méthode est d’un grand usage pour connoître les loix du choc des corps, dont je parlerai dans la suite.

22 §. 457. Galilée fut le premier qui imagina de suspendre un corps grave à un fil, & de mesurer le tems dans les observations Astronomiques & dans les expériences de Physique, par ses vibrations. ainsi, on peut le regarder comme l’inventeur des Pendules, mais ce fut M. Hughens qui les fit servir le premier à la construc-[361]tion des Horloges. Avant ce Philosophe les mesures du tems étoient très-fautives, ou très-pénibles; mais les Horloges qu’il construisit avec des Pendules, donnent une mesure du tems infiniment plus exacte que celle qu’on peut tirer du cours du Soleil; car le Soleil ne marque que le tems relatif ou apparent, & non le tems vrai. Voilà pourquoi les Horloges à Pendules retardent ou avancent quelquefois, de 15. ou 16. minutes sur le cours du Soleil, comme je l’expliquerai plus en détail en parlant de l’Astronomie.

23 §. 458. Quoique les vibrations du même Pendule dans de petits arcs de cercle inégaux s’achevent dans des tems sensiblement égaux (§. 454.) cependant ces tems ne sont pas égaux géometriquement; mais les oscillations dans de plus grands arcs se font toujours dans un tems un peu plus long, & ces petites différences qui sont très-peu de chose dans un tems très-courts, & dans de très-petits arcs, deviennent sensibles, lorsqu’elles sont accumulées pendant un tems plus considérable, ou que les arcs different sensiblement. Or mille accidens, soit du froid, soit du chaud, soit de quelque saleté qui peut si glisser entre les roues de l’Horloge, peuvent faire que les arcs décrite par le même Pendule ne soient pas toujours égaux, & par conséquent le tems marqué par l’éguille de l’Horloge, dont les vibrations du Pendule sont la mesure, seroit ou plus [362]court ou plus long, selon que les arcs que le Pendule décrit seroient augmentés ou diminués.

24 §. 459. L’expérience s’est trouvée conforme à ce raisonnement, car M. Derham ayant fait osciller dans la machine de Boyle un Pendule qui faisoit ses vibrations dans un cercle; il trouva que lorsque l’air étoit pompé de la machine, les arcs que son Pendule décrivoit étoient d’un cinquiéme de pouce plues grands de chaque côté que dans l’air, & que ses oscillations étoient plus lentes de deux secondes par heure.

25 Les vibrations du Pendule étoient plus lentes de six secondes par heure dans l’air, lorsqu’on ajustoit le Pendule, de façon que les arcs qu’il décrivoit, fussent augmentés de cette même quantité d’un cinquiéme de pouce de chaque côté; car l’air retarde d’autant plus le mouvement des Pendules que les arcs qu’ils décrivent sont plus grands.

26 §. 460. Le Pendule parcourt de plus grands arcs dans le vuide par la même raison qui fait les corps y tombent plus vîte, c’est-à-dire, parce que la résistance de l’air n’a plus lieu dans le vuide.

27 §. 461. M. Derham remarqua de plusque les arcs décrits par son Pendule étoient un peu plus [363]grands lorsqu’il avoit nouvellement nettoyé le mouvement qui le faisoit mouvoir.

28 §. 462. M. Hughens qui avoit prévû ces inconveniens, imagina pour y remedier, & pour rendre les Horloges aussi justes qu’il est possible, de faire osciller le Pendule qui les régle dans. des arcs de cicloïde, au lieu de lui faire décrire des arcs de cércle; car dans la cicloïde tous les arcs étant parcourus dans des tems parfairement égaux, les accidens qui peuvent changer la grandeur. des arcs décrits par le Pendule, ne peuvent apporter aucun changement au tems mesuré par ses vibrations, lorsqu’elles se font dans des arcs de cicloïde.

29§. 463. Cette courbe qui est très fameuse parmi les Géometres par le nombre & la singularité de ses propriétés, se forme par la révolution d’un point quelconque d’un cercle, dont la circonférence entirére s’applique successivemet sur une ligne droite.

30 Lorsque le cercle BO. applique successivement tous les points de sa circonférence sur la ligne droite BAb. en sorte que son point B. par lequel il touchoit cette ligne au commencemnt de sa révolution se trouve toucher l’autre extrémité b. de cette ligne, quand la révolution du cercle sur cette ligne BAb. sevée, on voit aisement que cette ligne BAb. sera égale à la circonférence du cercle BO. qui [364]s’est appliquée successivement sur elle comme pour la mesurer.

31 Si l’on conçoit maintenant que le point B. du cercle BO. qu’on appelle le point décrivant laisse à tous les points par lesquels il passe en allant de B. en b. une production de lui-même, il s’en formera la courbe BGb. & c’est cette courbe qu’on appelle une Cicloïde. Les rouës d’un carosse, en tournant décrivent dans l’air des cicloïdes.

32 §. 464. Le cercle BO. dont la révolution a formé la cicloïde BGb. s’appelle le cercle générateur de cette cicloïde: le point G. est le sommet de la cicloïde, & la ligne horisontale BAb. est la base.

33 §. 465. Si l’on conçoit le cercle générateur BO. parvenu dans sa révolution au point dans lequel son diametre GA. partage la cicloïde, & sa base en deux parties égales, alors ce diametre devient l’axe de la cicloïde.

34 §. 466. Si je voulois démontrer toutes les propriétés de cette courbe, il faudroit en faire un traité entier. Je me contenterai donc de vous indiquer ici celles qui sont nécessaires au sujet que je traite; vous en supposerez les démonstrations, ou si vous voulez les connoître, vous les trouverez dans l’excellent Livre de M. Hughens de Horologio Oscillatorio, ou dans le [365]Traité que M. Wallis a donné de la Cicloïde.

35 1°. Cette courbe se décrit elle-même par son évolution, en sorte que si CA. CN. sont deux demi-cicloïdes renverssées, formées par le même cercle générateur DA. lesquelles se réunissent au point C. ayant leur sommet en A. & en N. & que l’on conçoive un fil CBA. égal à la demie-cicloïde CA. à laquelle je le suppose appliqué. Si l’on attache à l’extrémité de ce fil un poids P. ce fil deviendra un Pendule égal à la demi-cicloïde CA. or si ce poids P. est abandonné à lui-même, il tombera vers la terre autant qu’il lui sera possible par sa gravité, & en tombant, il déployera le fil CA. lequel en se déployant de A. en F. décrira par son extrémité auquel tient le poids P. une courbe AF.

36 Si le poids P. qui a déployé le fil CBA. & qui l’a amené dans la direction perpendiculaire CF. continue à se mouvoir par l’action de sa gravité, lorsqu’il est arrivé en F. il décrira en remontant de F. en N. une courbe FN. égale à AF. & quand le point P. sera arrivé au point N. le fil CBP. sera appliqué à la demi-cicloïde CA, ou du fil CBP. qui luis est égal, & cette courbe AFN. se trouve être une cicloïde égale aux deux demi-cicloïdes CA. CN. & ayant le même cercle générateur, & elle est par conséquent double du fil CBP. égal à chacune de ces demi-cicloïdes. [366]

37 Afin que les Pendules décrivent des arcs des cicloïde dans leur évolution & leur révolution, il faut qu’ils soient suspendus entre des demi-cicloïdes de métal, contre lesquelles ils s’appuyent sans cesse en se déployant, & qui les empêchent de décrire des arcs de cercle.

38 2°. Le tems de la chute d’un corps par un arc quelconque d’une cicloïde renversée, est au tems de la chute perpendiculaire par l’arc de la cicloïde, comme la demie circonference du cercle est à son diametre.

39 C’est cette propriété de la cicloïde dont vous pouvez voir la démonstration dans le Traité de M. Hughens, qui fit découvrir à ce Philosophe la proportion entre le tems d’une oscillation, & l’espace tombé dont j’ai parlé.

40 3°. De cette propriété de la cicloïde, il en naît une autre, c’est que tous les arcs d’une cicloïde renversée sont parcourus en tems égal, par un corps qui tombe dans cette courbe par son propre poids; car puisque par la propriété précedente les tems de la chute d’un corps par des arcs quelconques de cicloïde, sont au tems de sa chute perpendiculaire par l’axe de cette cicloïde dans une raison constante, ces tems sont égaux entr’eux.

41 4°. Cet isochronisme des arcs de la cicloïde est fondé sur une proprété de cette courbe, dont je ne vous ai pas encore parlé, & qui se prouve par une démonstration assez compliquée, c’est que toute tangente de la cicloïde [367]est parallele à la corde de son cercle générateur comprise entre le sommet de la cicloïde, & le point auquel la parallele à la base tirée du point de tangence, coupe le cercle génerateur: ainsi, la tangente HBN. est parallele à la corde EA. dans la cicloïde MGL.

42 Il est aisé de voir comment l’isochronisme des arcs de la cicloïde découle de cette propriété, quoique ce ne soit pas par là qu’on l’a découvert, car la gravité agira sur le corps au point de cette courbe où il se trouve, de la même maniére qu’elle y agiroit sur la corde du cercle générateur qui lui correspond: or on a vû que sur toutes les cordes d’un cercle tirées des extrémités de son diametre, le corps reçoit des impulsions de la pesanteur proportionnelles aux cordes qu’il parcourt, c’est-á-dire, d’autant plus grandes que ces cordes sont plus longues: ainsi, dans la cicloïde chaque point de cette courbe ayant la même inclinaison que la corde du cercle générateur qui lui correspond, le corps reçoit à chacun de ces points des impulsions de la pesanteur proportionnelles à la corde, ou au double de cette corde, c’est-à-dire à l’arc qui lui reste à parcourir; car chacun de ces arcs est double de la corde du cercle générateur qui lui correspond: ces impulsions sont par conséquent d’autant moindres que ces arcs sont plus courts, & d’autant plus [368]grandes qu’ils sont plus grands, ces arcs étant d’autant plus inclinés qu’ils sont plus courts. Suivant cela, deux corps qui partent en même tems de points H. & B. de la cicloïde DFO. avec des vîtesses initiales proportionelles aux arcs HF. BF. qu’ils ont à parcourir, arriveroint en même tems au point F. s’ils continuoeint à se mouvoir avec les vîtesses initiales de H. en F. & de B. en F. d’un mouvement uniforme; or comme on peut faire le même raisonnement sur tous les points qui sont entre H. & F. & entre B. & F. les corps qui partent de ces différens points, doivent atteindre le sommet F. en même tems.

43 Je me suis arrêté à prouver cette quatriéme propriété de la cicloïde, & surtout à en faire sentir la raison Physique, parce que c’est celle qui sert le plus à la justesse des Pendules qui oscillent dans des arcs de cicloïde.

44 §. 467. Je ne puis passer sous silence une des plus belles propriétés de la cicloïde, & assurément celle qui est la plus surprenante de toutes, c’est que cette courbe est la ligne de la plus vîte descente d’un point à un autre.

45 §. 468. Le problême de la ligne de la plus vîte descente d’un corps tombant obliquement à l’horison par l’action de la pesanteur d’un point donné à un autre point donné, est fameux par l’erreur du grand Galilée, qui a crû que cette [369]ligne étoit un arc de cercle, & par les différentes solutions que les plus grands Géometres de l’Europe en ont donné; vous lirez un jour ces solutions dans les Acta Eruditorum, & dans les Translations Philosophiques, & vous verrez que tous ces grands hommes arriverent au même but par différens chemins, & que tous trouverent que cette ligne étoit une demi-cicloïde renversée, qui a pour origine & pour sommet les deux points donnés.

46 §. 469. La solution de ce problême semble une espece de paradoxe, puisqu’il s’ensuit que la ligne droite qui est toujours la plus courte entre deux points donnés, n’est pas celle qui est parcourue dans un moindre espace de tems, & cela étonne d’abord un peu l’imagination, cependant la géometrie le démontre, & il n’y a pas à en appeller, & cela dépend de cette propriété de la cicloïde, par laquelle les vîtesses initiales d’un corps à un point quelconque de cette courbe, sont proportionnelles aux arcs qui lui restent à parcourir.

47 §. 470. Ainsi la ligne de la plus vîte descente est aussi celle dont tous les arcs sont parcourus en temps égaux, & il est utile de remarquer que ces deux propriétés qui dêpendent visiblement du même principe, je veux dire des vîtesses initiales proportionnelles aux arcs à parcourir, ne se trouvent reunies dans une même [370]même courbe, qu’en suivant le sîsteme, ou pour mieux dire, les découvertes de Galilée sur la progression de la chute des corps.

48§. 471. M. Jean Bernoulli, ce fameux Mathématicien qui avoit proposé le problême de la ligne de la plus vîte descente, le résolut par la dioptrique, en démontrant que tout rayon rompu dans l’atmosphére doit décrire une cicloïde; ce grand Géometre suposoit dans sa solution que la lumiére en traversant des milieux d’une densité héterogene, devoit se transmetre par le chemin du plus court tems, comme Fermat l’avoit prétendu contre Descartes, & comme Messieurs Hughens & Leibnits l’avoient soutenu depuis Fermat.

49 §. 472. On sent aisément avec quel plaisir M. de Leibnits adopta une opinion qui prenoit sa source dans le principe d’une raison suffisante; car Fermat prétendoit que puisque le rayon ne va d’un point à un autre, ni par le chemin direct, ni par le plus court, il étoit convenable à la Sagesse de l’auteur de la Nature qu’il y allât par le chemin qu’il parcourt dans le moins de tems possible.

50 Ce n’est pas ici le lieu d’entrer dans cette discussion; vous pouvez voir ce que M. de Mairan a rapporté de la dispute de Descartes & de Fermat dans les Mémoires de l’Académie des Sciences Année 1722. en attendant que je [371]vous en parle, lorsque je vous expliquerai la réfraction de la lumiére.

51 §. 473. Vous avez vû ci-dessus qu’afin qu’un Pendule décrive des arcs de cicloïde, il est nécessaire qu’il soit suspendu entre deux demicicloïdes, comme dans la Fig. 60. lesquelles étant ordinairement de métal, l’empêchent de décrire un arc de cercle.

52 Or, quoique les deux demi-cicloïdes CA. CN. empêchent le corps P. de décrire l’arc de cercle EFL. cependant il y a vers le sommet de la cicloïde se meut de la même façon que s’il oscilloit librement dans le cercle EFL. & c’est là la véritable raison pour laquelle les oscillations du Pendule dans de trés-petits arcs de cercle différens, s’achevent cependant dans des tems sensiblement égaux, comme je l#ai dit.

53 Voilà pourquoi on ne suspend guéres les grands Pendules entre des arcs de cicloïde; la petitesse des arcs qu’ils décrivent, suffisant pour rendre leurs vibrations isochrones, & ce n’est que pour les petits Horloges dont le Pendule est très-court, que l’on se sert de la cicloïde.

54 § 474. Il suit de l’égalité du petit arc de cercle PFP. & de cette portion de la cicloïde AFN. que le tems pendant lequel un corps fait une oscillation dans un très-petit arc de cercle, est au tems de la chute perpendiculaire par la [372]demie longueur du Pendule, comme la circonférence du cercle est à son diametre, puisque le tems d’une oscillation dans une cicloïde suit cette proportion.

55 Cette égalité du tems des oscillations dans un petit arc de cercle aux tems des oscillations dans de petits arcs de cicloïde, étoit nécessaire à trouver, pour en déduire, comme fit M. Hughens, l’espace que la gravité fait parcourir ici-bas dans la premiere seconde aux corps qu’elle fait tomber vers la terre; car les Pendules qui font leurs oscillations par la seule force de la gravité, décrivent des arcs de cercle, & non pas des arcs de cicloïde.

56§. 475. La durée des oscillations de deux Pendules qui oscillent dans des arcs de cercle semblables, sont en raison sous-doublée de la longueur de ces Pendules.

57 Vous avez vû dans le chapitre 13. (§. 315. num. 4°.) qu’un corps qui tombe vers la terre par la seule force de la gravité, parcourt en tombant des espaces qui sont comme les quarrés des tems employés á tomber, ou des vîtesses acquises en tombant, à la fin de chacun de ces tems.

58 Or dans les oscillations des Pendules les espaces parcourus sont des arcs de cercle, dont les rayons sont les longueurs des Pendules: ainsi, le tems de la chute par l’arc EB. est au tems de la chute par l’arc semblable GD. en [373]raison sous-doublée de EB. à GD. & par conséquent en raison sous-doublée de AB. à CD, car les arcs sont entr’eux comme leurs rayons. On voit aisément que ce qui est vrai par les demi-oscillations EB. GD. l’est aussi par les oscillations entiéres EBF. GDH. Ainsi, les longueurs des Pendules qui décrivent des arcs de cercle semblables, sont entr’elles en rainson double inverse du nombre de leurs oscillations, en tems égal, & par conséquent le Pendule AB. qui a 9. pieds, par exemple, sera deux oscillations dans le même tems dans lequel le Pendule CD. qui a quatre pieds en sera trois; car les quarrés de ces oscillations sont 9. & 4. respectivement, ce qui est la longueur des Pendules. Les vibrations qui se font dans des arcs de cicloïde, suivent les mêmes proportions.

59 §. 476. Il suit de là que dans les Pendules qui oscillent dans des arcs de cercle semblables, les plus longs sont ceux dont les oscillations sont les plus lentes; car ils se meuvent sur un arc semblable, & plus incliné que les Pendules plus courts. Donc il faut que le Pendule qui sera ses vibrations en une seconde, ait une certaine longueur déterminée, puisque la longueur des Pendules décide du tems qu’ils employent à faire leurs oscillations.

60 §. 477. M. Picard avoit déterminé cette lon-[374] gueur pour le Pendule qui bat les secondes à Paris, à 3. pieds de Paris, 8. 1. 3/2 & ce fut cette longueur & le proportion que M. Hughens avoit trouvé entre le tems d’une oscillation, & la quantité de la chute verticale (§. 328.) qui fit naître à M. Hughens l’idée de faire de la longueur du Pendule qui fait ses vibrations en une seconde à Paris, une mesure universelle pour tous les pays & pour tous les tems, & pour rendre cette mesure univoque, il avoit donné le nom de pied horaire au tiers de cette longueur.

61 §. 478. Mais afin que cette mesure fût universelle, il faudroit que la pesanteur fût la même à tous les points de la surface de la terre; car la pesanteur étant la seule cause de l’oscillation des Pendules (§. 444.) & cette cause étant supposée rester la même, il est certain que la longueur du Pendule qui bat les secondes devroit être invariable, puisque la durée des vibrations dépend de cette longueur, & de la force avec laquelle les corps tombent vers la terre, & que par conséquent la mesure qui en résulte seroit universelle pour tous les pays, & pour tous les tems, car nous n’avons aucune observation, qui puisse nous porter à croire que l’action de la gravité soit différente dans les mêmes lieux en différens tems.

62 §. 479. Il faut avouer que cette idée est très[375]belle, & qu’une mesure universelle seroit très desirable, mais la supposition nécessaire pour la rendre telle, je veux dire la pesanteur égale dans toutes les regions de la terre, se trouve entierement fausse; car des observations incontestables ont fait connoître que l’action de la pesanteur est différente dans différens climats, & qu’il faut toujours allonger le Pendule vers le Pole, & le racourcir vers L’Equateur, afin qu’il fasse les vibrations en tems égal: ainsi, cette mesure propose par M. Hughens ne peut être universelle par tous les endroits de la terre, mais seulement pour les pays situés dans la même latitude que Paris, puisque c’est à Paris que la longueur du Pendule qui bat les secondes a été déterminée, & pour rendre cette mesure universelle, il faudroit avoir par l’expérience des tables des différences des longueurs du Pendule, qui battroit les secondes dans les différentes latitudes sur les deux hemispheres, comme nous en avons par la théorie pour notre hemisphere, & en rapportant toutes ces longueurs à la longueur du Pendule qui bat les secondes à Paris, ce qui serviroit aussi à déterminer la figure de la terre (§. 377.)

63 C’est un projet dont l’exécution auroit plus d’une utilité pour la Phyisique, mais il faut pour ces opérations des mains très-exercées, & des esprits très attentifs, & il n’est nullement aisé de déterminer ces longueurs par l’expérience avec la précision nécessaire pour en faire sentir [376]les différences qui dépendent quelquefois de moins d’un quart de ligne.

64 §. 480. Il faut surtout pour y parvenir avoir établi bien surément la longueur du Pendule qui bat les secondes dans une certaine latitude, & c’est ce que nous pouvons nous flatter d’avoir pour la latitude de Paris depuis les expériences que M. Mairan a faites en 1735. pour la déterminer.

65 M. Picard & M. Richer avoient déjà donné cette longueur; mais dans les choses qui dépendent de l’expéríence, il ne suffit pas d’avoir raison il faut être bien sûr de l’avoir, & on n’avoit point encore sur la longueur du Pendule avant 1735. cette sorte de certitude qui ne laisse rien à desirer.

66 §. 481. Pour connoître la quantité de l’action de la pesanteur, dans un certain lieu, il ne suffit pas d’avoir une Horloge à Pendule qui batte les secondes avec justesse dans ce lieu; car ce n’est pas la seule pesanteur qui meut le Pendule d’une Horloge, mais l’action du ressort, & en général tout l’assemblage de la machine agit sur lui & se mêle à l’actionde la gravité pour le mouvoir, & c’est un problême très-difficile & très-délicat de déterminer combien en vertu de la construction de l’Horloge, la longueur du pendule qui bat les secondes de cette Horloge, est [377]altérée par rapport à celle d’un pendule qui fait ses oscillations dans le même tems par l’action de la seule pesanteur; cependant c’est cette longueur qu’il faut trouver pour connoître la quantité de l’action de la seule pesanteur, dans l’endroit pour lequel on veut déterminer la longueur du Pendule à secondes.

67 On se sert pour y parvenir d’un corps grave suspendu à un fil, lequel étant tiré de son point de repos, fait les oscillations dans de petits arcs de cercle par la seule action de la pesanteur, & pour connoître combien ce pendule fait d’oscillations en un tems donné, on se sert d’un Horloge à pendule bien reglé sur le tems moyen, & qui bat les secondes de ce tems bien exactement, & l’on compte le nombre d’oscillations que le pendule sur qui la seule pesanteur agit, & qu’on appelle Pendule d’expérience, a fait pendant que le pendule de l’Horloge a battu un certain nombre de secondes; car le nombre des oscillations que les pendules font em tems égal étant en raison sous-double inverse de leurs longueurs (§. 475.) lorsqu’on connoît le nombre d’oscillations que deux pendules font en un tems donné, on connoît en quelle raison sont leurs longueurs, en quarrant ces nombres; ainsi les quarrés des oscillations que le pendule de l’Horloge & le pendule d’expérience font tems égal, donnent le rapport entre la longueur du pendule d’expérience, & celle du [378]pendule simple qui seroit ses oscillations par la seule force de la pesanteur, & qui seroit isochrone au pendule composé de l’Horloge, & qui par conséquent battroit les secondes dans la latitude, où l’on fait l’expérience, & cette longueur est celle du pendule que l’on cherche.

68 §. 481. C’est de cette façon que M. de Mairan à déterminé la longueur nécessaire au pendule pour battre les secondes à Paris par la seule action de la pesanteur à 3. pieds, 8 lignes, 17/30 ou environ 5/9 d’un fil de pite (fil tiré de la feuille d’une espéce d’aloës) presque aussi délié qu’un cheveu, & auquel une boule de cuivre d’un pouce de diametre étoit suspendue.

69 §. 482. Cette longueur tient à peu près le milieu entre celles que Messieurs Picard & Richer avoient données, & si on la prend de 3. pieds 8 lignes 5/9. elle est la même que celle que M. Newton rapporte au troisiéme Livre de ses Principes, d’après les mesures de Messieurs Varin & des Hayes prises en 1682.

70 §. 483. On peut voir dans l’excellent Mémoire de M. de Mairan toutes les précautins qu’il a prises pour s’assures de la justesse de ses expériences, & on verra que les desirs de ceux qui ne prennent que la peine de desirer, ne peuvent pas même aller au de-là. [379]

71 C’est à ces mesures que les Académiciens qui ont été mesurer un degré du Méridien sous l’équateur, & au cercle polaire, rapportent toutes les observations qu’ils ont faites sur la longueur du Pendule, dans ces différens climats.

72 §. 484. Tout ce que j’ai dit jusqu’à présent des Pendules, ne doit s’entendre que des Pendules simples, c’est-à-dire, des Pendules ausquels un seul poids est suspendu, & dont le fil est supposé exempt de toute pesanteur; car lorsque le fil auquel le poids est attaché, a une pesanteur sensible par rapport à ce poids, alors le Pendule simple devient un pendule composé (§. 449.) puisque le poids du fil qu’il faut alors compter, fait le même fil, & que les Pendules composés ne sont autre chose que des Pendules ausquels plusieures poids sont attachés à des distances invariables tant les uns des autres que du point de suspension, &c.

73 §. 485. Les Pendules composés suivent les mêmes loix que les Pendules simples, mais ils suivent avec de certaines modifications.

74 §. 486. Pour déterminer le tems des oscillations d’un Pendule composé, & les arcs qu’il décrit, il faut considérer une chose dont je n’ai point encore parlé, parce qu’elle appartient principa-[380]lement aux Pendules composés, c’est le centre d’oscillation.

75 §. 487. Le centre d’oscillation d’un Pendule composé, est le point dans lequel les efforts ou actions des poids qui le composent, se réunissent pour faire faire à ce Pendule ses vibrations dans un certain tems; ainsi, le centre d’oscillation & le centre de gravité ont un rapport nécessaire.

76§. 488.On appelle centre de gravité le point par lequel passe nécessairement la ligne qui partageroit le corps en deux parties également pesantes, ensorte que si chaque moitié étoit mise dans le bassin d’une balance, elles se tiendroient en équilibre.

77§. 489. Toute la gravité d’un Corps peut être conçue rassemblée dans ce seul point, ensorte que les autres parties sont considerées comme étant entierement privées, & c’est ainsi que l’on conçoit la pesanteur des Pendules simples.

78 §. 490. Le centre de gravité d’un Corps est toujours dans une ligne perpendiculaire à l’horsion, ensorte que ce Corps peut être soutenu, soit qu’il soit suspendu par le point même de son centre de gravité, soit qu’il le soit par un point quelconque de cette ligne qu’on appelle ligne du centre. [381]

79§. 491. Le centre d’oscillation est toujours dans cette ligne du centre de gravité.

80 Quand deux ou plusieurs corps tiennent ensemble, soit qu’ils soient contigus, soit qu’ils soient séparés, ils ont un centre de gravité commun, ce centre est un point quelconque dans la ligne droite qui joindroit les centres de ces corps; & ce point est toujours situé de façon que la distance des corps à ce point, est toujours en raison réciproque de leur gravité.

81 §. 492. Le centre d’oscillation d’un Pendule simple dont le fil est supposé sans pesanteur (ce qui est le cas ordinaire), n’est point dans le point de son centre de gravité, comme on le croiroit d’abord, mais dans la ligne de ce centre de gravité, un peu plus bas que le point du centre, duquel il est plus loin ou plus près, selon une certaine proportion entre le rayon de la boule qui compose le pendule, & la longueur du fil auquel elle est attachée, & cela, parce qu’il faut avoir égard à la distance du centre de gravité de la boule au point de suspension; car cette distance sera d’autant plus grande, la longueur du fil restant la même, que le rayon da la boule sera plus grand, & au contraire. C’est à M. Hughens à qui l’on doit encore cette remarque; & c’est lui qui a déterminé cette proportion entre le rayon de la boule, & la longueur du pendule pour trouver le centre d’oscillation. [382]

82 §. 493. La véritable longueur du Pendule simple, dont le fil est supposé sans pesanteur, n’est donc pas la longueur du fil depuis le point de suspension jusqu’au point auquel la boule y est attachée, ni jusqu’au centre de gravité de cette boule; mais cette longueur est à compter depuis le point de suspension, jusqu’au centre d’oscillation, lequel n’est le même que le centre de gravité, que lorsque la longueur du fil excede à un certain point le rayon de la boule; car alors l’abaissement du centre d’oscillation devient insensible, & n’est plus à compter.

83 §. 494. Quand le fil du Pendule simple a une pesanteur qui peut être sensible par rapport à celle du poids qui y est attaché, alors ce Pendule n’est plus considéré comme un pendule simple, mais comme un pendule composé (§. 484.); & son centre d’oscillation n’est plus alors dans la boule suspendue; il est sur le fil même dans un point quelconque au-dessus de cette boule, c’est-à-dire, dans un point où l’on conçoit que l’action de la gravité du fil, & du poids, se rassemble, & ce point est d’autant plus haut que le poids du fil est plus grand par rapport à celui de la boule, & au contraire.

84 Dans ces cas, la vraie longueur est la distance qui se trouve entre le point de suspension, & ce centre d’oscillation, & les oscillations de ce pendule seront plus promptes, que si ce fil étoit sans pesanteur; car alors la vraie longueur [383]du Pendule sera moins grande (§. 476.)

85 §. 495. On a vû (§. 476.) qu’un poids suspendu à un fil, fait ses oscillations d’autant plus lentes que ce fil est plus long, ou, ce qui revient au même, que le corps est plus loin du point de suspension, & au contraire; ainsi, si à un fil CA. long de quatre pieds, par exemple, qui porte un poids P. à son extrémité A. on ajoute en O. un second poids R. un pied plus haut, c’est-à-dire, à 3, pieds du point de suspension doit faire ses oscillations plues lentes que le corps B. qui n’en est qu’à trois pieds, cependant ces deux poids tenant à un même fil, ce fil ne peut faire ses vibrations plus longues & plus courtes en même tems; il les fera donc dans un tems qui tiendra le milieu entre la lenteur avec laquelle il eût oscillé, si le poids P. attaché à quatre pieds du point de suspension y eût été seul, & la promptitude dont ces oscillations eussent été, s’il n’avoit eû que le poids R. attaché en O. Ainsi, le second poids hâte les vibrations du premier, & le premier retarde celles du second, & le centre d’oscillation de ce pendule sera dans le point dans lequel, si ces deux poids étoient réunis, le Pendule simple qu’ils composeroient alors, seroit ses vibrations dans un tems égal au tems des vibrations du Pendule composé, auquel ils tiennent séparement. Ainsi, chercher le centre d’oscillation [384]d’un Pendule composé, c’est chercher la longueur d’un pendule simple qui seroit ses vibrations dans un tems égal à celles de ce Pendule, & la véritable longueur du Pendule composé est celle du Pendule simple qui lui seroit isochrone comme le Pendule CB. par exemple, au Pendule COA. Or comme les longueurs des Pendules sont comme les quarrés des tems de leurs oscillations, on voit aisément que le Pendule simple CB. dont les vibrations seroient isochrones à celles du Pendule composé COA. auroit plus de trois pieds, & moins de quatre, puisque ses oscillations ne seroient ni si lentes que celles du poids attaché à quatre pieds, ni si promptes que celles du poids attaché à trois pieds: par conséquent, un pendule simple est toujours plus court que le pendule composé auquel il est isochrone, & le centre d’oscillations du pendule composé COA. sera entre les deux poids P. & R. c’est-à-dire, environ au point Q.

86 §. 496. On voit de-là que pour déterminer ce qui arrive aux pendules composés, il faut que nous les décomposions; car nous ne pouvons voir les objets que par parties, & pour considérer le composé, il faut toujours que nous le simplifions.

87 §. 497. On sent aisément que dans le pendule COA. composé de deux poids, plus l’un [385]des poids est près du point de suspesion, c’est-à-dire, plus les deux poids sont loin l’un de l’autre, plus le centre d’oscillation est près du point de suspension, & au contraire, ensorte que si ces deux poids étoient également loind du point de suspension, leurs centres d’oscillations se confondroient, & le pendule composé deviendroit un pendule simple, puisque le pendule simple qui lui seroit isochrone, seroit de la même longueur que lui.

88 §. 498. Ainsi, tout pendule auquel un seul poids est suspendu, peut être considéré comme un pendule composé, en supposant le poids suspendu divisé en plusieurs parties, dons les différentes gravités sont réunies dans le centre d’oscillation de ce pendule.

89 §. 499. Tout ce qu’on dit d’un pendule composé de deux poids, on peut le dire d’un pendule composé de trois, quatre, ou d’un nombre quelconque de poids; car les proportions sont toujours inviolablement les mêmes.

90 §. 500. Dans tout ce que jous ai dit sur les pendules dans ce chapitre, je n’ai point déterminé le poids, ni l’espéce des corps suspendus, car la résistance de l’air étant presque insensible sur les pendules, & la gravité se proportionnant aux masses, tous les corps, de quelque espéce qu’ils soient, font leurs vibra-[386] tions également vîte, toutes choses d’ailleurs égales, ce qui est encore une preuve que la gravitation agit selon la quantité directe de la matiére propre des corps (§. 361.) car toutes les vérités se donnnent mutuellement la main.