Chapitre 17

Du Repos, & de la Chute des Corps sur un Plan incliné

1[351]

2§. 400

3 L’Action de la gravité est toujours uniforme, & toujours dirigée perpendiculairement vers le centre de la terre (§.303, & 338). Ainsi, lorsqu’un Corps qui tombe vers la terre change sa direction ou son mouvement, il faut nécessairement que quelque cause étrangère se soit mêlée à l’action de la gravité sur lui. [352]

4 §. 401. Ces causes étrangéres peuvent être actives ou passives; les causes actives sont celles qui impriment un nouveau mouvement aux corps, comme lorsque je jette une pierre qui seroit tombée par la seule force de la gravité.

5 Les causes passives sont celles qui n’impriment aucun nouveau mouvement au corps, mais qui changent seulement sa direction.

6 Les plans inclinés, c’est-à-dire, les superficies planes, qui font u angle oblique avec l’Horison, sont des causes passives qui changent la direction du corps sans lui imprimer aucun mouvement.

7 §. 402. Si ces plans étoient parallèles ou perpendiculaires à l’Horison, ils ne changeroient point la direction des corps qu’on y auroit placés; mais dans le prémier cas ils opposeroient un obstacle invincible à la descente de ce corps, comme le plan AB. au corps P. car ce corps étant entièrement soutenu par le plan, y resteroit en repos toute l’éternité, à moins que quelque cause extérieure n’agit sur lui pour le tirer de ce repos.

8 Dans le second cas, c’est-à-dire, si le plan étoit perpendiculaire, à l’Horison, comme dans la Figure 38, il n’apporteroit aucun obstacle à la chute du corps P. & ce corps descendroit vers la terre le long de ce plan, de même que si ce plan, de même que si cen plan n’y étoit pas, (en faisant abstraction [353]du frottement); car l’action de la gravité étant toujours dirigée parpendiculairement à l’Horison, le plan vertical A. B. ne peut apporter aucun obstacle à son action.

9§. 403. Mais lorsque ce plan est incliné à l’Horison, comme dans la Figure 39. alors il s’oppose en partie à la descente du corps vers la terre.

10 Les corps qui tombent par un plan incliné, ont donc une gravité absolue, & une gravité respective, c’est-à-dire, diminuée para résistance du plan.

11 Leur gravité absolue est la force avec laquelle ils descendroient perpendiculairement vers la terre, si rien ne s’opposoit au mouvement qui les y porte, & leur gravité respective est cette même force diminuée par la résistance du plan.

12 La ligne AC. perpendiculaire à l’Horison, s’appelle la hauteur du plan.

13 §. 404. La ligne AB. oblique à l’Horison, s’appelle la longueur du plan.

14 §. 405. La ligne BC. qui est parallèle à l’Horison, s’appelle la base du plan, & l’angle ABC. que le plan AB: fait avec l’Horison, s’appelle l’angle d’inclinaison de ce plan.

15 §. 406. La gravité respective d’un corps [354] dans un plan incliné, est à sa gravité absolue, comme la hauteur du plan est a sa longueur. Je vais tâcher de vous faire compreendre cette proposition, par un raisonnement sensible, & plus à votre portée que la démonstration géometrique. Vous sentez aisément que le plan incliné ne s’oppose à la descente perpendiculaire du corps, & ne diminue par conséquent sa gravité absolue qu’autant qu’il est incliné à l’Horison, puisque s’il y étoit perpendiculaire, il ne s’y opposeroit point du tout (402). Donc plus ce plan est incliné à l’Horison, ou ce qui est la même chose, moins il a de hauteur, plus le corps est soutenu par le plan, & moins il a par conséquent de gravité respective: donc la gravité respective de ce corps sur ce plan, doit être à sa gravité absolue, comme la hauteur du plan est à sa longueur.

16 §. 407. La gravité respective du même corps sur des plans différemment inclinés, est comme le sinus de l’angle d’inclination de ces plans, car plus cet angle augmente, plus la gravité respective du corps est grande, & au contraire.

17 Ainsi, la gravité respective du corps P. est plus grande sur le plan AC. que sur le plan aC. car l’angle ACD. est plus grand que l’angle aCB.

18 §. 408. Si l’angle d’inclinaison devenoit [355] un angle droit, la gravité respective se confondroit avec la gravité absolue, à laquelle elle seroit égale; car alors le plan ne résistant point à la chute du corps, il ne diminueroit point sa gravité absolue.

19 §. 409. Si cet angle devenoit nul, la gravité respective deviendroit aussi nulle, & le corps n’auroit plus aucune tendance à se mouvoir le long du plan, lequel seroit alors Horisonal, & si cet angle devenoit infiniment petit, la gravité respective de ce corps deviendroit infiniment petite.

20 §. 410. Un plan incliné ne peut par lui-même empêcher le corps qui est posé sur lui de descendre vers la terre, il ne peut que retarder sa chute: ainsi, afin qu’un corps reste en repos sur un plan incliné, il faut que quelque autre force que la résistance du plan l’y soutienne.

21 §. 411. Un corps qui reste en repos sur un plan incliné est tenu en équilibre par deux puissances qui contrebalancent sa gravité absolue. 1°. La résistance du plan qui agit, selon la ligne BD. perpendiculaire à ce plan, car le plan étant pressé selon cette ligne par le poids P. presse ce poids selon la même direction, à cause de l’égalité de l’action & de la réaction. 2°. La force extérieure qui soutient le cors, sur le plan.[356]

22 §. 412. Afin que la puissance qui soutient un corps sur un plan incliné l’êmpeche de rouler le long de ce plan, il faut que cette puissance soit plus ou moins grande, selon ses différentes directions; car elle soutient plus ou moins dans ces différentes directions.

23 §. 413. Si la puissance qui soutient le corps sur le plan, est verticale, comme la puissance SP. il faut qu’elle soit égale au poids du corps; car alors elle le soutient tout entier, & le plan incliné n’est plus compté.

24 §. 414. Cette puissance devra être d’autant moindre que sa direction s’éloignera davantage de la verticale, jusqu’à ce qu’enfin lorsqu’elle sera parallèle au plan incliné, comme dans la fig. 43. la puissance S. qui soutient le corps P. sur ce plan, ne doit plus être au poids de ce corps, que comme la hauteur du plan est à sa longueur, c’est-à-dire comme la gravité respective du Corps P. est à gravité absolue, car alors la puissance S. n’a plus que la gravité respective de ce corps à contrebalancer.

25 §. 415. A mesure que la direction de cette puissance s’éloigne du parallésime au plan, de façon que la ligne de direction étant prolongée passe au dessous du plan comme dans la Fig. 44. la puissance doit augmenter, & elle [357]doit être d’autant plus grande pour empêcher le corps de tomber, qu’elle s’éloigne davantage du parallélisme au plan, en sorte que si elle lui devenoit perpendiculaire comme la puissance KP. elle ne pourroit plus, quelque grande qu’elle fût, empêcher le corps de tomber; car elle n’auroit que la même action que le plan AB. lui-même, & par conséquent elle ne pourroit empêcher le corps de tomber le long de ce plan.

26 §. 416. Enfin, cette puissance pourroit être infiniment petite, si le plan étoit infiniment peu haut, ce qui n’a pas besoin d’être prouvé.

27 §. 417. Si le poids L. que je suppose être la puissance qui soutient le corps P. sur le plan AB. si le poids L. dis-je, au-lieu de tenir le corps P. en équilibre sur le plan AB. le faisoit monter parallélement le long de ce plan, tandis qu’il descendroit lui-même perpendiculairement le long de la ligne AC. la hauteur dont le corps P. montera, sera à celle dont le poids L. descendera, comme la hauteur du plan est à sa longueur; car supposé que le poids L. ait fait montrer le corps P. de B. en R. dans le plan AB c’est comme si ce corps P. étoit monté perpendiculairement de la hauteur RH. mais le poids L. qui descend perpendiculairement est descendu de la hauteur entière [358]BR. or à cause des triangles semblables RBH. ABC. RH. est à BR. comme AC. est à AB. Donc la hauteur dont le corps P. est monté, est à celle dont le poids L. est descendu, comme la hauteur du plan est à sa longueur, & les hauteurs auxquelles ces deux corps monteront & descendront, seront en raison réciproque de leur poids.

28 §. 418. Il est aisé de voir par tout ce qui vient d’être dit, pourquoi un carosse monte plus difficilement une montagne qu’il ne roule sur un terrain horisontal; car il faut que les chevaux soutiennent, pendant qu’ils montent, une partie du poids du carosse, lequel est à son poids total, comme la hauteur perpendiculaire du plan, c’est-à-dire, de la montagne, est à sa longueur; & c’est par la même raison que l’on roule plus aisément sur un terrain uni, que sur un terrain raboteux; car les inégalités du terrain sont autant de petits plans inclinés.

29 §. 419. Deux corps P. & S: qui se tiennent en équilibre sur des plans inégalement inclinés, mais dont la hauteur est la même, sont entr’eux comme la longueur des plans, sur lesquels ils s’appuyent; car ils sont alors l’un pour l’autre ce que seroient des poids qui les tiendroient en repos sur ces plans, & dont la direction seroit parallèle à ces plans (§. 414). [359]

30 §. 420. Lorsqu’aucune force ne retient les corps posés sur un plan incliné, ils descendent nécessairement vers la terre le long de ce plan (§.410). & le mouvement du corps peut être alors considéré comme un mouvement composé, & le plan dans lequel il descend comme la diagonale du parallélogramme formé sur les deux directions composantes, savoir, la perpendiculaire vers la terre, que la gravité imprime à tout moment aux corps, & l’Horisontale causée par l’inclinaison du plan.

31 §. 421. Mais cette résistance du plan qui fait prendre au corps la direction Horisontale, ne lui imprime aucun mouvement, puisque si elle avoit son effet entier, cet effet seroit le repos du corps; elle ne fait donc réellement que retarder le mouvement que la gravité imprime au corps, & changer la direction de ce mouvement.

32 §. 422. Ainsi, les corps en descendant dans un plan incliné, n’ont d’autre mouvement que celui que la gravité leur imprime sans cesse pour arriver au centre de la terre.

33 §. 423. Puisque les corps descendent dans un plan incliné par la seule force de leur gravité, ils y descendent donc d’un mouvement également accéléré; car la raison de la gravité respective à la gravité absolue d’un corps sur [360]un plan incliné étant toujours comme la hauteur du plan à sa longueur (§. 406). & la gravité agissant toujours uniformement, le corps doit avoir un mouvement également accéléré en descendant dans le plan incliné pendant tout le tems qu’il y descend.

34 §. 424. La descente des graves dans un plan incliné suit donc les mêmes loix que leur chute perpendiculaire: ainsi, les espaces qu’ils parcourent dans le plan incliné sont comme les quarrés de leurs tems, ou des vitesses acquises à la fin de ces tems; l’espace qu’ils parcourent d’un mouvement accéléré est égal à l’espace qu’ils parcoureroient d’un mouvement uniforme pendant un tems égal, & avec la moitié des vitesses acquises à la fin de l’accélération, & enfin les espaces parcourus dans les tems égaux & successifs de la chute, croissent comme les nombres impairs 1. 3. 5. 7. &c. (Ch. 13. §. 306).

35 §. 425. Mais si les corps suivent dans leur chute par les plans inclinés les mêmes proportions que dans leur chute perpendiculaire, les vitesses qu’ils y aquierent, & les espaces qu’ils parcourent ne sont pas égaux en tems égaux, aux vitesses qu’ils acquièrent & aux espaces qu’ils parcourent, lorsqu’ils descendent perpendiculairement. [361]

36 §. 426. La vitesse d’un corps qui tombe dans un plan incliné est l’effet de sa gravité respective, & sa vitesse dans un plan perpendiculaire est celui de sa gravité absolue; ces vitesses doivent donc être différentes, puisque les causes qui les produisent sont différentes, & elles doivent être proportionelles à ces causes.

37 La vitesse que le corps aquiert en tombant dans un plan incliné, est donc à la vitesse qu’il aquiert en tombant perpendiculairement en tems égal, comme la hauteur du plan est à sa longueur, c’est-à-dire, comme la gravité respective & la gravité absolue qui produisent ces vitesses, sont entr’elles (§. 406). & ces vitesses conservent entr’elles la même raison pendant tous les tems égaux de la chute.

38 §. 427. Voilà pourquoi Galilée se servit du plan incliné pour découvrir les loix que les corps suivent dans leur chute; car le corps observant les mêmes proportions dans leur chute oblique, & dans leur chute perpendiculaire, & leur chute oblique s’opérant plus lentement, il lui étoit plus aisé de discerner les espaces que les corps parcouroient pendant un tems donné, lorsqu’ils tomboient perpendiculairement.

39 §. 428. La vitesse que le corps aquiert en tombant par un plan incliné, étant à celle qui’il [362]aquéreroit en tombant perpendiculairement en tems égal, comme la hauteur du plan est à sa longueur (§. 426), les espaces que le corps parcourt sur le plan incliné, & ceux qu’il parcoureroit en tombant perpendiculairement sont aussi dans cette même raison, car le tems étant égal les espaces doivent être entr’eux comme les vitesses (§. 254).

40 §. 429. Si de l’angle rectangle que la hauteur perpendiculaire du plan fait toujours avec l’Horison, on tire une ligne BD. perpendiculaire au plan incliné AC. vous avez vu dans la Géometrie que la ligne AD. sera à la ligne AB. comme la ligne AB est à la ligne AC. Or vous venez de voir que l’espace parcouru dans le plan incliné est à la chute perpendiculaire dans le même tems, comme la hauteur du plan est à sa longueur. Le corps parcourera donc dans le plan AC. l’espace AD. dans le même tems dans lequel il tomberoit perpendiculairement de A. en B. puisque la ligne AD, est à la ligne AB, comme cette ligne AB, est à la ligne AC, c’est-à-dire comme la hauteur du plan est à sa longueur, & il n’y a dans le plan AC. que cet espaces AD. qui puisse être parcouru en même tems que l’espace AB. car il n’y a dans le plan incliné AC. que cet espace AD. qui puisse être à l’espace AB. comme AB. est à AC.

41 §. 430. Ainsi, lorsqu’on on connoit l’espace [363]qu’un corps parcoureroit dans sa chute perpendiculaire en un tems donné, on connoit celui qu’il parcoureroit dans le même tems dans le plan incliné, dont cette chute perpendiculaire seroit la hauteur en tirant de l’angle droit formé par la ligne verticale, & par l’Horisontale, une ligne perpendiculaire au plan incliné.

42 §. 431. C’est de cette proposition que l’on tire cette autre qui est d’un usage très-étendu, savoir: Que dans un cercle, dont le diamètre est perpendiculaire à l’Horison, la chute d’un corps par une corde quelconque menée des extrémités du diamètre à la circonférence, se fait en un tems égal à celui dans lequel le corps parcoureroit le diamètre entier.

43 Dans le cercle ABC. le diamètre AB. perpendiculaire à la ligne Horisontale LM. peut être considéré comme la hauteur des plans inclinés AM. AG. or les angles ARB. AKB. sont droits, ainsi les lignes BK. BR. sont perpendiculaires aux plans inclinés AM. AG. & par conséquent les corps qui tomberoient du point A. arriveroient en même tens en R. en K. & en B. par le §. précédent.

44 §. 432. On prouvera de la même façon que le corps doit parcourir les cordes KB. RB. dans le même tems dans lequel il parcoureroit le diamètre AB. car on peut mener par le point A. les cordes AF. AH. égales & paralèles aux cordes RB. KB. or par ce que je [364]viens de dire, ces cordes AF. AH seront parcourues dans le même tems que diamètre AB. Donc les cordes RB. KB. qui leur sont égales & parallèles, seront aussi parcourues dans le même tems que ce diamètre AB. ainsi les corps qui partiroeint des points O, A, R, K. ou d’un point quelconque de la circonférence OCB. arriveroient en même tems au point B.

45 §. 433. Vous venez de voir dans le §. précédent la démonstration géométrique de cette vérité, & il vous est aisé d’en apercevoir la raison sensible, car vous comprenez facilement que ces cordes doivent être parcourues en tems égal, parce qu’elles sont d’autant plus verticales qu’elles sont plus longues, & d’autant plus inclinées qu’elles sont plus courtes.

46 §. 434. Le tems qu’un corps emploie à tomber par un plan incliné, est d’autant plus long que ce plan est plus incliné, & ce tems est au tems de la chute perpendiculaire comme la longueur du plan est à sa hauteur.

47 §. 435. Ainsi, les tems de la chute d’un corps par des plans différemment inclinés, mais dont la hauteur est la même, sont comme les longueurs de ces plans, ce qui n’a pas besoin de preuve après ce qui vient d’être dit. [365]

48 §. 436. Vous avez vu (§. 325), que les vitesses aquises dans le plan incliné, ne sont pas égales aux vitesses que le corps auroit aquises en tombant perpendiculairement pendant le même tems; mais ce qui est vrai dans les tems partiaux de la chute, ne l’est plus dans le tems total: car dans les parties de la chute, on compare les vitesses aquises dans la chute oblique pendant un tems quelconque, aux vitesses que le corps acquereroit en tombant perpendiculairement pendant le même tems; mais dans la chute totale, on compare les vitesses aquises dans les tems totaux des deux chutes, l’oblique, & la perpendiculaire. Or, ces tems sont inégaux, puisqu’ils sont entr’eux comme la longueur & la hauteur du plan sont entr’elles (§. 434.). Les vitesses de deux corps, dont l’un tomberoit perpendiculairement, & l’autre par un plan incliné, seroient donc égales à la fin de leur chute, quoiqu’elles fussent inégales á la fin de leur chute: ainsi, dans le plan incliné ABC. l’espace AB. & l’espace AD. sont parcourus dans le même tems, mais les vitesses que les corps ont aquises au point B. & au point D. ne sont pas égales, puisque ces vitesses sont entr’elles comme la longueur du plan est à sa hauteur (§.426). au-lieu que les vitesses des corps qui tomberoient per les lignes AC, AB, seroient égales lorsque ces Corps seroeint arrivés aux points B & C. [366]

49 Car lorsque le corps est arrivé en D. & qu’il continue à tomber de D. en C, sa vitesse croît en même raison que le tems de son mouvement (§. 251.) ainsi, la vitesse aquise en C. est à la vitesse aquise en D. comme AC à AB. c’est-à-dire comme la longueur du plan est à sa hauteur; mais les vitesses aquises aux point B & D. sont entr’elles comme AB est à AD, ou comme AC, est à AB. (§.428). Les vitesses aquises en B. & en C. sont donc égales, puisqu’elles sont l’une & l’autre à la vitesse aquise en D. comme AC à AB.

50 Cette proposition n’est pas du nombre de celles dans lesquelles la Géometrie persuade l’esprit presque malgré lui; car il est aisé de sentir que la force par laquelle le corps tend à descendre vers la terre, étant la seule qui fasse descendre dans le plan incliné, quand cette force à eu tout son effet, & que rien ne l’a diminuée, elle doit avoir communiqué au corps la même vitesse, quel que soir le chemin par lequel il soit tombé: car dans tout ce que je vous ai dit dans ce Chapitre, j’ai fait abstraction des frottemens que le corps peut éprouver sur les plans par lesquels il descend, ainsi le corps a aquis la même vitesse, lorsqu’il a atteint l’Horison, soit qu’il y soit parvenu par une ligne perpendiculaire, ou par un plan incliné, pourvu qu’il soit tombé de la même hauteur perpendiculaire. D’où il [367]suit que les corps qui tombent par des plans différemment inclinés, comme AC, AG, AF, ont tous aquis la même vitesse lorsq’ils arrivent à l’Horison CF. pourvu que ces plans ayent la même hauteur perpendiculaire.

51§. 437. Il n’en seroit pas de même si le corps après avoir commencé à tomber par un plan AB. perpendiculaire ou incliné à l’Horison, venoit à rencontrer un autre plan incliné BC. car le corps altère sa vitesse en changeant de direction lorsqu’il passe du plan AB. sur le plan BC, ainsi il ne commence pas à descendre sur le plan BC. avec la vitesse qu’il avoit point B. en tombant de A en B. mais cette vitesse est d’autant plus altérée par le changement de direction dont la rencontre du plan BC. est la cause, que le point B. de ce plan s’approche davantage de l’Horison, & la vitesse que le corps aura aquise au point C. en tombant par les plans contingus AB. BC. ne sera point égale à celle qu’il auroit aquise en tombant perpendiculairement de A en G. comme elle l’étoit dans les cas précédens, où nous n’avons considéré la chute du corps que lorsqu’il tomboit par un seul plan.

52 Cette altération de vitesse causée par la rencontre du plan BC. est une suite nécessaire de la loi de continuité, car si l’angle ABC. que sont entr’eux les plans AB. BC. devenoit un angle droit, alors le corps en tombant de A [368]en B. perdroit au point B. toute sa vitesse, car on fait abstraction ici du ressort des corps: or si le plan BC. ne faisoit pas perdre au corps qui le rencontre en tombant de A en B. une partie de sa vitesse, lorsque ce plan fait avec le plan AB. un angle obtus quelconque, il s’ensuivroit que lorsque le plan BC. fait avec le plan AB un angle de 95. dégrés, par exemple, le corps qui tomberoit le long de ces plans, arriveroit en C. avec toute sa vitesse, sans que la résistance de ce plan lui en fit perdre aucune partie, mais que lorsque cet angle diminueroit de 5. dégrés seulement, alors la résistance de ce plan BC. deviendroit si grande que le corps qui tomberoit de A. en B. perdroit toute sa vitesse par cette résistance, ainsi l’effet seroit un grand saut, quoique la cause qui le produit, qui est la direction du plan BC. changeât très peu, car vous sentez aisément que ce qui est vrai à 95. dégrés, l’est encore à 90. dégrés, & une seconde, d’où il suit, qu’afin que la loi de continuité dont je vous ai fait voir la nécessité (§. 16 & 17). soit observée, il faut qu’à mesure que l’angle ABC. devient moins obtus, c’est-à-dire à mesure que le point B. du plan BC. s’approche de l’Horison, l’effet qui est une suite de l’inclinaison de ce plan à l’Horison, s’aproche de celui qui est une suite de son parallélisme à l’Horison: or lorsque ce plan BC. se confond avec l’Horiso, le corps perd toute sa vitesse [369] au point B, donc à mesure que ce point B. s’aproche de l’Horison, & que l’angle ABC. devient moins obtus, la vitesse de ce corps doit diminuer, jusqu’à ce qu’enfin lorsque le point B. aura atteint l’Horison, & que le plan BC. se confondra avec la ligne Horisontale IC. le corps perdra toute sa vitesse.

53 La Géometrie démontre ici ce que la Métaphysique enseigne, car ayant prolongé BC, & abaissé KD. perpendiculaire sur cette ligne BC. pour décomposer la vitesse BK. en deux autres vitesses BD & KD (§.276), on trouve que la vitesse que le corps avoit au point B. pour continuer son chemin dans la direction AB. avant d’avoir rencontré le plan BC. est à celle qu’il a dans ce même point B. pour se mouvoir le long du plan BC. après la rencontre de ce plan, comme BK. est à BD. car le plan BC. résiste à la vitesse que le corps tombé de A en B a au point B. pour continuer son chemin dans la direction AB. & la quantité de cette action est exprimée par la ligne DK. sinus de l’angle d’inclinaison de ces plans; le corps ne continue donc son chemin vers l’Horison par le plan BC. qu’avec la vitesse que la résistance perpendiculaire de ce plan n’a point détruite, ainsi le corps n’aura point en C. la même vitesse que s’il étoit tombé perpendiculairement de A. en G. mais seulement celle qu’il auroit aquise en tombant de la hauteur [370]perpendiculaire EI. comme on le démontre.*

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55 *Si on prolonge la ligne BC. jusqu’à ce qu’elle rencontre la ligne Horisontale AF, & que sur BF. comme diamètre, on décrive le demi-cercle FNB. si on prolonge ensuite la ligne BA. dans la Fig. 52. No. 1 jusqu’à ce qu’elle rencontre en N. le demi-cercle FNB. que l’on tire dans les deux figures la ligne NF. & que de ce point N. on abaisse sur BF. la perpendiculaire NE. le point E. déterminera la hauteur perpendiculaire d’où le corps en tombant aquérereoit la même vitesse qu’il aura au point C. en tombant le long des plans AB. & BC. ce qui sera prouvé, si on fait voir que le corps en tombant le long du plan EB. auroit au point B. la même vitesse qu’il a à ce point B. en tombant de A. en B. & après avoir rencontré le plan BC.

56 On a vu (§.436.) que le corps en tombant de A. en B. a la même vitesse que s’il étoit tombé de F en B. on fait de plus que les espaces parcourus sont entr’eux comme les quarrés des vitesses que le corps a à la fin de chaque chute (§. 424): or à cause des triangles semblables BNF. BNE. BKD. ou aura BF2. BN2. :: BF. BE ou BK2. BD2. :: BF. BE; donc puisque BF. exprime l’espace que le corps a parcouru pour aquérir la vitesse BK: BE. exprimera l’espace que le corps doit parcourir pour aquérir la vitesse BD. puisqu’on vient de voir (§. 437.) que la vitesse du corps au point B. après sa chute de A en B, avant d’avoir rencontré le plan BC. est à sa vitesse à ce même point B, après la rencontre de ce plan, comme BK. est à BD. d’où il suit que le corps étant arrivé en G. par les plans inclinés contigus AB. BC. a la vitesse qu’il auroit eue s’il étoit tombé de la hauteur perpendiculaire EI. & non pas celle qu’il auroit eue en tombant de la hauteur AG.

57 On voit aisément que lorsqu’il y a trois plans inclinés contigus, comme AB. BC. CD. on déterminera de la même manière la hauteur perpendiculaire dont le corps devroit tomber, la hauteur perpendiculaire dont le corps devroit tomber, pour avoir à la fin de sa chute perpendiculaire la même vitesse qu’il a après avoir roulé le long de ces plans; car après avoir trouvé pour les deux plans AB. BC. le point E. de la manière qu’on vient de dire, on trouvera par le même procédé le point K. pour les plans EC. CD. en considérant les deux plans AB. BC. comme un seul plan EC. CD. en considérant les deux plans AB. BC. comme un seul plan EC. & ainsi de suite, en quelque nombre que puissent être les plans contigus.

58 Lorsque le corps, après être tombé le long des plans AB. BC. est supposé remonter le long de ces plans, on trouvera en quelle raison sa vitesse absolue, est à sa vitesse modifiée par la rencontre du plan BA. en tirant DR. perpendiculaire à BK. car la que le corps aura au point B. après être remonté de C. en B. & avant d’avoir rencontré le plan BA. sera à sa vitesse à ce même point B. après la rencontre de ce plan comme BD. à BR. ou comme BK. à BD. car ce corps perd en remontant la même quantité de vitesse par la rencontre du plan BA. qu'il avoit perdue en descandant par la rencontre du plan BC. tirant donc sur BN. la perpendiculaire EH. & abaissant de ce point H. la perpendiculaire HM. sur BE. & menant enfin des points E & M. les parallèles EK. MO. on déterminera la hauteur à laquelle le corps doit remonter, car à cause des triangles semblables BHM. BHE & BDR. BD2. BR2 :: BE. BM donc en faisant le même raisonement que dans la démonstration précédente, on trouvera que le corps en remontant par le plans CB, BA. avec la vitesse aquise en descendant par ces mêmes plans, ne remontera pas à la hauteur perpendiculaire IE. mais seulement à la hauteur XM. & que par conséquent loin d’arriver en A, d’où il étoit parti, il n’arrivera pas même en K. mais seulement en O.

59 Je me suis attachée à prouver cette vérité, parce que tous les Auteurs qui ont parlé du plan incliné, sans en excepter le grand Huyghens lui-même, ont avancé, que le corps en descendant le long de plusieurs plans inclinés contigus aquéroient la même vitesse que s’ils etoient tombés de la hauteur perpendiculaier de ces plans, & que si ces corps venoient à remonter le long de ces mêmes plans, ils arriveroient à la même hauteur d’où ils étoient partis, & je ne rougis point d’avouer que j’ai avance la même chose dans la prémiere édition de cet Ouvrage, sans songer seulement à examiner la vérité d’un sentiment si unanimement suivi; mais le Mémoire de Mr. de Varignon sur cette matiere, qui se trouve dans les Mémoires de l’Academie, année 1693, m’étant tombé depuis entre les mains, je n’ai pu me refuser à l’evidence de sa démonstration, ni assez m’étonner que tant d’Auteurs célèbres qui ont parlé de cette matière, ou n’aient pas connu la démonstration de Mr. de Varignon, ou n’aient pas voulu s’y rendre, & qu’on retrouve enfin cette faute dans presque tous les livres qui parlent des plans inclinés; car il ne suffit pas de faire abstraction des frottemens que le corps éprouve à la rencontre de ces plans, comme on fait quelque-uns d’entr’eux, puisque qund même on supposeroit les plans contingus parfaitement polis, l’altération de la vitesse causée par l’inclinaison des plans, & par leur résistance, auroit toujours lieu, & on ne peut faire abstraction de cette résistance, comme on pouroit peut-être croire que Mr. Huyghens l’a entendu par ces mots, cum flexus in B. nihil obstare motui ponatur , car si l’infléxion en B ne s’étoit point opposée au mouvement du corps qui tombe le long des plans AB. BC. ce corps n’auroit point changé de direction: or comme Mr. Huyghens suppose dans l’endroit dont il s’agit que le corps a changé de direction, puisqu’il y examine ce qui doit arriver au corps après ce changement, il n’a pu faire abstraction de la résistance du nouveau plan que le Corps rencontre, puisque sans cette résistance le cas qu’il examine n’auroit pas lieu, & on ne pourroit faire cette abstraction qu’en supposant les plans contigus unis entr’eux par une courbe à laquelle ils seroient tangens.

60 Galilée est le premier qui s’est mépris sur cet article, peut-être cette erreur de Galilée étoit-elle une erreur invincible pour ce Philosophe, qui ignoroit la Géometrie de l’infini, car il n’y a que la Géometrie de l’infini qui puisse expliquer pourquoi le Corps perd de sa vitesse dans les plans inclinés contigus, & n’en perd pas dans les courbes, & Galilée conclut apparemment de ce qui arrive dans les courbes à ce qui doit arriver dans les plans inclinés contigus.

61 Les habiles gens qui ont suivi cette erreur de Galilée, ont tiré de ce principe faux en lui-même, des conséquences justes, parce que, comme dit Mr. de Varignon, la supposition est là dans le point de sa fausseté , & c’est vraisemblablement ce qui a empêché la plupart d’entr’eux, & surtout Mr. Huyghens d’examiner un principe dont ils ne tiroient que des conséquences démontrées; mais ce qui n’a aucune influence de fausseté dans les courbes, en a beaucoup dans la pratique, lorsqu’il s’agit d’appliquer la théorie des plans inclinés à la méchanique.

62 Vous sentez aisément que plus le corps rencontrera de plans inclinés contigus, & plus vitesse sera diminuée, car la même cause qui diminue cette vitesse sera diminuée, car la même cause qui diminue cette vitesse à la rencontre du prémier plan, doit aussi la diminuer à la rencontre du second, du troisième, &c. (V. la Note), puisque cette cause qui est la résistance perpendiculaire que le plan oppose à cette vitesse, se répète [371]dans tous les plans, où elle est d’autant plus grande qu’ils s’aprochent davantage de l’Horison.

63 Quand l’angle ABE. que le plan BC. prolongé fait avec le plan AB. est de 60 dégrés, on démontre, que le corps étant tombé le long du plan AB. n’aura au point B. après la rencontre du plan BC. que la moitié de la vitesse qu’il avoit à ce même point B. avant de rencontrer le plan BC. ainsi dans ce cas la [372] rencontre de ce plan ôtera à ce corps la moitié de sa vitesse, dans la direction AB. ce que je ne vous indique ici que pour vous faire sentir combien il est important de ne pas négliger la diminuition que la rencontre des plans inclinés contigus, aporte à la vitesse des corps qui roulent sur ces plans, lorsqu’on veut déterminer quelle vitesse ces corps aquéreront dans leur chute.

64 §. 438. Puisque la rencontre des plans inclinés contigus altère la vitesse des corps qui tombent le long de ces plans, il s’ensuit nécessairement que si un corps qui est descendu le long de plusieurs plans inclinés contigus venoit à remonter le long de ces plans, non seulement ce corps ne remonteroit pas à la même hauteur, d’où ils est parti, mais il ne remonteroit pas même en K. dans la Fig. 52. N°. 1. (V. la Note); car la rencontre de ces plans doit diminuer, en remontant, la vitesse [373]du corps par la même raison, & de la même manière qu’elle l’a retardée en descendant, & c’est ce qui arrive en effet.

65 §. 439. Il semble qu’il suit de tout ce que vous venez de voir, que toute courbe pouvant être considérée comme une infinité de plans infiniment peu inclinés, puisqu’elles sont toutes composées de lignes droites infiniment petites, qui changent infiniment peu de direction, un corps qui descend, ou qui remonte par une courbe quelconque, devroit perdre par la rencontre de chacun de ces plans infiniment peu inclinés une vitesse infiniment petites, étant répétées un nombre infini de fois pendant la chute ous l’ascension du corps, devroeint faire à la fin, une perte de vitesse finie, & que par conséquent un corps qui monte, ou qui decend dans une courbe quelconque ne devroit pas avoir à la fin de sa [374]chute la même vitesse que s’il étoit tombé de la hauteur perpendiculaire de cette courbe, ni remonter à cette hauteur; cependant il est certain, que les corps en tombant par des courbes ont précisement la même vitesse que s’ils étoient tombés par la ligne qui exprime leur hauteur perpendiculaire, & qu’ils remontent à cette même hauteur.

66 On ne trouve la raison de cette différence entre ce qui arrive dans les courbes, & ce qui paroit devoir arriver suivant la théorie des plans inclinés, que dans la Géometrie de l’infini, car elle fait voir que les sinus des angles que forment entr’eux les côtés d’une courbe quelconque sont des infiniment petits du second dégré, & que par conséquent, ces sinus exprimant les pertes de vitesse (§. 437.), que fait à chaque instant, un corps qui remonte, ou qui descend par une courbe quelconque, ces pertes quoique répétées une infinité de [375]fois, ne sont qu’un infiniment petit du prémier dégré, d’où il suit que ces pertes ne peuvent pas empêcher que le corps n’ait à la fin de sa chute la même vitesse que s’il étoit tombé de la hauteur perpendiculaire de la courbe par laquelle il descend, ni qu’il remonte à cette même hauteur, car l’infini ôté du fini ne le diminue point pour nous.

67 Ainsi les Corps en tombant par une courbe quelconque, aquièrent la même vitesse que s’ils étoient tombés de la hauteur perpendiculaire de cette courbe, & remontent par la vitesse aquise en tombant, à la même hauteur d’où ils sont tombés.

68 §. 440. Lorsque les angles d’inclinaison de deux plans sont égaux, ils sont également inclinés, quoique leur hauteur & leur longueur soient différentes, car leur inclinaison dépend de l’angle qu’ils font avec l’Horison, [376]& non de leur hauteur ou de leur longueur.

69 Les plans également inclinés ABC. abc. ayant l’angle d’inclinaison B. & b. égal par supposition, & l’angle en C. & en c. étant droit dans l’un & dans l’autre, ces plans forment des triangles semblables, dont les côtés sont proportionels; ainsi, AB. est à ab. comme AC. est à ac. Dans les plans également inclinés, les hauteurs sont donc proportionelles aux longueurs; & si deux corps descendent dans deux de ces plans, les tems qu’ils employeront à tomber par ces plans, seront entr’eux en raison soudoublée de leur longueur, ce qui n’a pas besoin de preuve, puisque ces tems sont toujours en raison sousdoblée des espaces parcourus (§. 315. n°. 4.).

70 §. 441. Si au-lieu de plans, on imagine deux courbes composées de plans également inclinés infiniment petits, les tems de la chute dans les deux courbes seront dans la même raison que dans les plans également inclinés.

71 §. 442. Il suit de tout ce qui a été dit dans ce Chapitre, que les corps en tombant par une superficie quelconque, soit courbe, soit inclinée, aquièrent la vitesse nécessaire pour remonter à la même hauteur, car les corps en tombant par un plan incliné, suivent les mêmes loix qu’en tombant perpendiculairement, & ceux qui tombent le long des courbes sui-[377]vent aussi ces mêmes Loix (§. 439): or dans la chute perpendiculaire les corps aquièrent des vitesses capables de les faire remonter à la même hauteur dont ils sont descendus, & ces vitesses leur sont ôtées en remontant, de la même façon qu’elles leur avoient été imprimées en descendant, ce qui est la cause de l’oscillation des Pendules, dont je vais vous parler dans le Chapitre suivant.