Chapitre 17

Du repos, & de la chute des Corps sur un plan incliné

1[335]

2§. 400

3 L’action de la gravité est toujours uniforme, & toujours dirigée perpendiculairement vers le centre de la terre (§.303 & §.338.). Ainsi, lorsqu’un Corps qui tombe vers la terre change sa direction ou son mouvement, il faut nécessairement que quelque cause étrangére se soit mêlée à l’action de la gravité sur lui.

4 §. 401. Ces causes étrangéres peuvent être [336]actives ou passives; les causes actives sont celles qui impriment un nouveau mouvement aux corps, comme lorsque je jette une pierre qui seroit tombée par la seule force de sa gravité.

5 Les causes passives sont celles qui n’impriment aucun nouveau mouvement au corps, mais qui changent seulement sa direction.

6 Les plans inclinés, c’est-à-dire, les superficies planes, qui font un angle oblique avec l’horison, sont des causes passives qui changent la direction du corps sans lui imprimer aucun mouvement.

7 §. 402. Si ces plans étoient paralleles ou perpendiculaires à l’horison, ils ne changeroient point la direction des corps qu’on y auroit placés; mais dans le premier cas ils opposeroient un obstacle invincible à la descente de ce corps, comme le plan AB: au corps P. car ce corps étant entierement soutenu par le plan y resteroit en repos toute l’éternité, à moins que quelque cause extérieure n’agît sur lui pour le tirer de ce repos.

8 Dans le seconds cas, c’est-à-dire, si le plan étoit perpendiculaire à l’horison comme dans la Figure 38. il n’apporteroit aucun obstacle à la chute du corps P. & ce corps descendroit vers la terre le long de ce plan, de même que si ce plan n’y étoit pas, (en faisant abstraction du frottement) car l’action de la gravité étant toujours dirigée perpendiculairement à l’horison, le plan vertical A. B. ne peut apporter aucun obstacle à son action. [337]

9 §. 403. Mais lorsque ce plan est incliné à l’horison, comme dans la Figure 39. alors il s’oppose en partie à la descente du corps vers la terre.

10 Les corps qui tombent par un plan incliné, ont donc une gravité absolue, & une gravité respective, c’est-à-dire, diminuée par la résistance du plan.

11 Leur gravité absolue est la force avec laquelle ils descendroient perpendiculairement vers la terre, si rien ne s’opposoit au movement qui les y porte, & leur gravité respective est cette même force diminuée par la résistance du plan.

12La ligne AC. perpendiculaire à l’horison, s’appelle la hateur du plan.

13 §. 404. La ligne AB. oblique à l’horison, s’appelle la longueur du plan.

14 §. 405 La ligne BC. qui est paralelle à l’horison, s’appelle la base du plan, & l’angle ABC. que le plan AB: fait avec l’horison, s’appelle l’angle d’inclinaison de ce plan.

15 §. 406. La gravité respective d’un corps dans un plan incliné, est à sa gravité absolue, comme la longueur du plan est à la hauteur; car ce plan ne s’oppose à la descente perpendiculaire du corps, & ne diminue par conséquent [338]sa gravité absolue qu’autant qu’il est incliné à l’horison, puisque s’il y étoit perpendiculaire, il ne s’y opposeroit point du tout (§. 401). Donc plus ce plan est incliné à l’horison, ou ce qui est la même chose, moins il a de hateur, plus le corps est soutenu par le plan, & moins il a par conséquent de gravité respective: donc la gravité respective de ce corps sur ce plan, est à sa gravité absolue, comme la hauteur du plan est à sa longueur.

16 §. 407. La gravité respective du même corps sur des plans différemment inclinés, est comme l’angle d’inclinaison de ces plans, car plus cet angle augmente, plus la gravité respective du corps est grande, & au contraire.

17 Ainsi, la gravité respective du corps P. est plus grande sur le plan AD. que sur le plan AC. car l’angle ADB. est plus grande que l’angle ACB.

18 §. 408. Si l’angle de l’inclinaison devenoit un angle droit, la gravité respective se confondroit avec la gravité absolue, à laquelle elle seroit égale; car alors le plan ne résistant point à la chute du corps, il ne diminueroit point sa gravité absolue.

19 §. 409. Si cet angle devenoit nul, la gravité deviendroit aussi nulle, & le corps n’auroit plus aucune tendance à se mouvoir le long du plan, 339
lequel seroit alors horisontal, & si cet angle devenoit infiniment petit, la gravité respective de ce corps deviendroit infiniment petite.

20 §. 410. Un plan incliné ne peut par lui-même empêcher le corps qui est posé sur lui de descendre vers la terre, il ne peut que retarder sa chute: ainsi, afin qu’un corps reste en repos sur un plan incliné, il faut que quelqu’autre force que la résistance du plan l’y soutienne.

21§. 411. Un corps qui reste en repos sur un plan incliné est tenu en équilibre par deux puissances qui contrebalancent sa gravité absolue. 1° La résistance du plan qui agit, selon la ligne BD. perpendiculaire à ce plan, car le plan étant pressé selon cette ligne par le poids P.presse ce poids selon la même direction, à cause de l’égalité de l’action & de la réaction. 2° La force extérieure qui soutient le corps, sur le plan.

22 §. 412. La résistance du plan reste toujours la même dans un même plan, mais la direction de la puissance qui soutient le corps sur ce plan peut changer, & il faut que cette force soit différente dans ses différentes directions pour empêcher les corps de tomber; car elle soutient plus ou moins dans ces directions différentes.

23 §. 413. Si la puissance qui soutient le corps sur [340] le plan verticale comme la puissance SP. il faut qu’elle soit égale au poids du corps; car alors elle le soutient tout entier, & le plan incliné n’est plus compté pour rien.

24 §. 414. Cette puissance devra être d’autant moindre que sa direction s’éloignera plus de la direction verticale, en sorte que quand cette direction sera paralelle au plan incliné comme dans la Fig. 43 pour que ce corps P. soit soutenu sur le plan AB. il faudra que la puissance S. soit au poids du corps P. comme la hauteur du plan est à sa longueur, c’est-à-dire, comme la gravité respective de ce corps à la gravité absolue; car la gravité respective de ce corps est la seule chose que cette puissance ait à contrebalancer dans cette direction.

25 Cette direction parallele au plan, est celle dans laquelle la puissance qui soutient le corps doit être la plus petite; car alors la résistance du plan agit entiérement, & par conséquent la puissance qui empêche le corps de tomber a d’autant moins à soutenir.

26 §. 415. A mesure que la direction de la puissance qui soutient le corps s’éloigne du parallelisme au plan, cette puissance doit être plus grande pour empêcher le corps de tomber, en sorte qu’elle doit être plus grande dans la direction OP. que dans la direction SP. jusqu’à ce qu’enfin si elle devenoir perpendiculaire au plan [341] comme la puissance KP. elle ne pourroit plus, quelque grande qu’elle fût, empêcher le corps de tomber le long du plan; car elle n’auroit que la même action que le plan AB. lui-même, & par consequent elle ne pouroit empêcher le corps de tomber le long de ce plan.

27 §. 416. Enfin, cette puissance pourroit être infiniment petite, si le plan étoit infiniment peu haut, ce qui n’a pas besoin d’être prouvé.

28 §. 417. Si le poids L. (que je suppose être la puissance qui soutient le corps P. sur le plan AB.) si le poids L. dis-je, au lieu de tenir le corps P. en équilibre sur le plan AB. le faisoit monter parallelement le long de ce plan, tandis qu’il descendroit lui-même perpendiculairement le long de la ligne AC. la hauteur dont le poids P. montera, sera à celle dont le poids L. descendra, comme la hauteur du plan est à sa longueur; car supposé que le poids L. ait fait monter le poids P. de B. en R. dans le plan AB: c’est comme si ce poids P. étoit monté perpendiculairement de la hauteur RH. mais le poids L. qui descend perpendiculairement est descendu de la hauteur entiére BR. or à cause des triangles semblables RBH. ABC. RH. est à BR. comme AC. est à AB. (Euclide Liv. 6. prop. 4.) Donc la hauteur dont le poids P. est monté, est à celle dont le corps L. est descen-[342]du, comme la hauteur du plan est à la longueur, & les hauteurs ausquelles ces deux poids monteront & descendront seront en raison réciproque de leur poids.

29 §. 418. Il est aisé de voir par tout ce qui vient d’être dit, pourquoi un carosse monte plus difficilement une montagne qu’il ne roule sur un terrain horisontal; car il faut que les chevaux soutiennent pendant qu’ils montent une partie du poids du carosse, lequel est à son poids total, comme la hauteur perpendiculaire du plan, c’est-à-dire, de la montagne, est à sa longueur; & c’est par la même raison que l’on roule plus aisément sur un terrain uni, que sur le terrain raboteux; car les inégalités du terrain font autant de petits plans inclinés.

30 §. 419. Deux corps P. & S. qui se tiennent en équilibre sur des plans inégalement inclinés, mais dont la hauteur est la même, font entr’eux comme la longueur des plans, sur lesquels ils s’appuyent; car ils sont alors l’un pour l’autre ce que seroient des poids qui les tiendroient en repos sur ces plans, & dont la direction seroit parallele à ces plans (§. 414).

31 §. 420. Lorsqu’aucune force ne retient les corps posés sur un plan incliné, ils descendent nécessairement vers la terre le long de ce plan (§. 410) & le mouvement du corps peut-être [343] alors considéré comme un mouvement composé, & le plan dans lequel il descend comme la diagonale du parallelogramme formé sur les deux directions composantes, sçavoir, la perpendiculaire vers la terre, que la gravité imprime à tout moment aux corps, & l’horisontale causée par l’inclinaison du plan.

32 §. 421. Mais cette résistance du plan qui imprime au corps la direction horisontale, ne lui imprime aucun mouvement, puisque si elle avoit son effet entier, cet effet seroit le repos du corps; elle ne fait donc réellement que retarder le mouvement que la gravité imprime aux corps, & changer la direction de ce mouvement.

33 §. 422. Ainsi, les corps en descendant dans un plan incliné, n’ont d’autre mouvement que celui que la gravité leur imprime sans cesse pour arriver au centre de la terre.

34 §. 423. Puisque les corps descendent dans un plan incliné par la seule force de leur gravité, ils y descendent donc d’un mouvement également accéleré; car la raison de la gravité respective à la gravité absolue d’un corps sur un plan incliné étant toujours comme la hauteur du plan à sa longueur (§. 406) & la gravité agissant toujours uniformément, le corps doit se mouvoir d’un mouvement également [344] accéléré, en descendant dans le plan incliné pendant tout le tems qu’il y descend.

35 §, 424. La descente des graves dans un plan incliné suit donc les mêmes loix que leur chute perpendiculaire: ainsi, les espaces qu’ils parcourent dans le plan incliné sont comme les quarrés de leurs tems, ou de leurs vîtesses; l’espace qu’ils parcourent d’un mouvement accéléré est égal à l’espace qu’ils parcoureroient d’un mouvement uniforme pendant un tems égal, & avec la moitié des vîtesses acquises pendant l’accélération, & enfin les espaces parcourus dans les tems égaux & successifs de la chute croissent comme les nombre impairs 1. 3. 5. 7. &c. (ch. 13. §. 306).

36 §. 425. Mais si les corps suivent dans leur chute par les plans inclinés les mêmes proportions que dans leur chute perpendiculaire, les vîtesses qu’ils y acquerent, & les espaces qu’ils parcourent ne sont pas égaux en tems égaux, aux vîtesses qu’ils acquerent & aux espaces qu’ils parcourent, lorsqu’ils descendent perpendiculairement.

37 §. 426. La vîtesse d’un corps qui tombe dans un plan incliné est l’effet de sa gravité respective, & sa vîtesse dans un plan perpendiculaire est celui de sa gravité absolue; ces vîtesses doivent donc être différentes, puisque les causes [345] qui les produisent sont différentes.

38 La vîtesse que le corps acquert en tombant dans un plan incliné, est donc à la vîtesse qu’il acquert en tombant perpendiculairement en un tems égal, comme la hauteur du plan est à sa longueur, c’est-à-dire, comme la gravité respective & la gravité absolue qui produisent ces vîtesses, sont entr’elles (§. 406.) & ces vîtesses conservent entr’elles la même raison pendant tous les tems égaux de la chute.

39 §. 427. Voilà pourquoi Galilée se servit du plan incliné pour découvrir les loix que les corps suivent dans leur chute; car les corps observant les mêmes proportions dans leur chute oblique, & dans leur chute perpendiculaire, & leur chute oblique s’operent plus lentement, il lui étoit plus aisé de discerner les espaces que les corps parcouroient, lorsqu’ils tomboient par un plan incliné, que lorsqu’ils tomboient perpendiculairement.

40 §. 428. Les espaces que le corps parcourt en tombant dans un plan incliné sont à ceux qu’il parcoureroit en tombant perpendiculairement dans un tems déterminé, comme la vîtesse du corps dans le plan incliné, est à la vîtesse perpendiculaire au bout de ce tems, c’est-à-dire, comme la hauteur du plan est à sa longueur.

41 §. 429. Si de l’angle rectangle que la hau-[346] teur perpendiculaire du plan fait toujours avec l’horison, on tire un ligne BD. perpendiculaire au plan incliné AC. la ligne AD. sera à la ligne AB. comme la ligne AB. est à la ligne AC. (Euclide Liv. 6. prop. 8). Or, on vient de voir que l’espace parcouru dans le plan incliné est à la chute perpendiculaire dans le même tems, comme la hauteur du plan est à sa longueur. Le corps parcourera donc dans le plan incliné l’espace AD. dans le même tems dans lequel il tomberoit perpendiculairemetn de A. en B. puisque la ligne AD. est à la ligne AB. comme la hauteur du plan est à sa longueur, & il n’y a dans le plan AC. que cet espace AD. qui puisse être parcouru en même tems que l’espace AB. car il n’y a dans le plan incliné ABC. que cet espace AD. qui puisse être à l’espace AB. comme AB. est à AC. (Euclide Liv. 6 prop. 8.).

42 §. 430. Ainsi, lorsqu’on connoît l’espace qu’un corps parcoureroit dans sa chute perpendiculaire en un tems donné, on connoît celui qu’il parcoureroit dans le même tems dans un plan incliné, dont cette chute perpendiculaire seroit la hauteur en tirant de l’angle droit formé par la ligne verticale, & par l’horisontale une ligne perpendiculaire au plan incliné.

43 §. 431. C’est de cette proposition que l’on tire cette autre-ci qui est d’un usage très-étendu, sçavoir: Que dans un cercle dont le diame-[347]tre est perpendiculaire à l’horison, la chute d’un corps par une corde quelconque menée des extrêmités du diametre à la circonférence, se fait en un tems égal à celui dans lequel le corps parcoureroit le diametre entier.

44 Dans le cercle ABC. le diametre AB. perpendiculaire à la ligne horisontale LM. peut être considéré comme la hauteur des plans inclinés AM. AG. or les angles ARB. AKB sont droits (Eucl. Liv. 3. prop. 31.). Ainsi, les lignes BK. BR. sont perpendiculaires aux plans inclinés AM. AG. & par conséquent les corps qui tomberoient du point A. arriveroient en même tems en R. en K. & en B.

45 On prouvera de la même façon que le corps doit parcourir les cordes KB. RB. dans le même tems dans lequel il parcoureroit le diametre AB. car on peut mener par le point A. les cordes AF. AH. égales & paralleles aux cordes RB. KB. or ces cordes AF. AH. seront parcourues dans le même tems que le diametre AB. (par la §. 431.). Donc les cordes RB. KB. qui leur sont égales & paralleles, seront aussi parcourues dans le même tems que ce diametre AB.

46 §. 432. Il suit évidemment de cette proposition que le point dans lequel la ligne tirée perpendiculairement de l’angle droit au plan incliné rencontre le plan, est dans la circonférence du cercle, dont la hauteur du plan est le diametre.[348]

47 §. 433. Ainsi dans un cercle dont le diametre est perpendiculaire à l’horison, toutes les cordes tirées des extrêmités de ce diametre à la circonférence, sont parcourus ainsi que le diametre lui-même dans un tems égal, & les corps étant abandonnés à eux-mêmes, arriveront en même tems au point B. soit qu’ils partent du point R. ou du point K. ou du point O. ou du point A. ou enfin d’un point quelconque de la circonférence ABC. car chacune de ces cordes peut être considérée comme des parties de plusieurs plans inclinés, dont le diametre AB. est la hauteur.

48 La raison pour laquelle toutes les cordes sont parcourues en tems égal, c’est qu’elles sont d’autant plus inclinés qu’elles sont plus courtes, & d’autant plus verticales, qu’elles sont plus longues.

49 §. 434. Le tems qu’un corps employe à tomber par un plan incliné, & ce tems est au tems de la chute perpendiculaire comme la longueur du plan est à sa hauteur.

50 §. 435. Ainsi, les tems de la chute d’un corps par des plans differemment inclinés, mais dont la hauteur est la même, sont comme les longueurs de ces plans, ce qui n’a pas [349] besoin de preuve après ce qui vient d’être dit.

51 §. 436. J’ai dit (à la §.425.) que les vîtesses acquises dans le plan incliné, n’étoient pas égales aux vîtesses que le corps auroit acquis en tombant perpendiculairement pendant le même tems, mais ce qui est vrai dans les tems partiaux de la chute, ne l’est plus dans le tems total: car dans les parties de la chute, on compare les vîtesses acquises dans la chute oblique pendant un tems quelconque, aux vîtesses acquises dans la chute oblique pendant un tems quelconque, aux vîtesses que les corps acquereroit en tombant perpendiculairement pendant le même tems; mais dans la chute totale, on compare les vîtesses acquises dans les tems totaux des deux chutes, l’oblique, & la perpendiculaire. Or, ces tems sont inégaux, puisqu’ils sont entr’eux comme la longueur & la hauteur du plan sont entr’elles. Ainsi, les vîtesses de deux corps, dont l’un tomberoit perpendiculairement, & l’autre par un plan incliné, seroient égales à la fin de leur chute, quoiqu’elles fussent inégales dans un tems quelconque de la chute: ainsi, dans le plan incliné ABC. l’espace AB. & l’espace AD. sont parcourus dans le même tems, mais la vîtesse que le corps a acquis au point B. & au point D. n’est pas égale, la vîtesse acquise au point B. est à celle que le corps a acquis en D. comme AC. à AB. c’est-à-dire, comme la longueur du plan à sa hauteur. [350]

52 Mais lorsque le corps est arrivé en D. & qu’il continue à tomber de D. en C. sa vîtesse croît en même raison que le tems de son mouvement: ainsi, la vîtesse acquise en C. est à la vîtesse acquise en D. comme AC. à AD. ou à AB. c’est-à-dire, comme la longueur du plan est à sa hauteur, puisque les vîtesses croissent comme le tems, (§. 434). Les vîtesses acquises en B. & en C. sont donc égales, puisqu’elles sont l’une & l’autre à la vîtesse acquise en D. comme AC. à AB.

53 Cette proposition n’est pas du nombre de celles dans lesquelles la géometrie persuade l’esprit presque malgré lui; car il est aisé de sentir que la force par laquelle le corps tend à descendre vers la terre, étant la seule qui le fasse descendre dans le plan incliné, quand cette force a eu tout son effet, elle doit avoir communiqué au corps la même vîtesse, quelque soit le chemin par lequel il soit tombé: ainsi, le corps a acquis la même vîtesse, lorsqu’il a atteint l’horison, soit qu’il y soit parvenu par une ligne perpendiculaire, ou par un plan incliné, ou par plusieurs plans inclinés contigus, pourvû qu’il soit tombé de la même hauteur perpendiculaire.

54 §. 437. Il suit de là, qu’un corps qui est tombé perpendiculairement de L. en I. a acquis la même vîtesse que s’il étoit tombé de H. en I. [351]ainsi, s’il continuoit de tomber de I. en K. par le plan incliné IK. son mouvement seroit le même que s’il étoit tombé de H. en K.

55 Mais comme son mouvement est plus lent par le plan incliné IK. que par le plan perpendiculaire IM. (§. 426.) un corps qui tomberoit de L. en I. puis de I. en K. arriveroit plus tard à l’horison en K. que s’il y étoit arrivé par le plan perpendiculaire LM. quoique par l’un & par l’autre chemin il ait acquis la même vîtesse; car il a emplyé cette vîtesse à parcourir un espace plus long dans le premiers cas que dans le second.

56 §. 438. Ainsi, un corps en descendant par le plan incliné LM. aura acquis la même vîtesse en M. que s’il étoit tombé de I. en M. ou de Q. en G. & si étant arrivé en M. il continuoit son chemin le long du plan incliné MN. il auroit la même vîtesse en N. que s’il étoit tombé de Q. en N. ou de Q. en P. & si étant arrivé en N. il continuoit encore son chemin par NO. il auroit acquis en O. la même vîtesse, que s’il étoit tombé de Q. en R. Ainsi, un corps qui tombe par plusieurs plans inclinés contigus comme LM. MN. NO. aura acquis, lorsqu’il sera parvenu à l’horison la même vîtesse, que s’il étoit tombé de la hauteur perpendiculaire de ces plans réprésentée par la ligne QR. en supposant que [352] dans les changemens de directions en M. & en N. il n’y ait eu aucun frottement qui ait diminué la vîtesse du corps.

57 §. 439. Une courbe n’étant autre chose qu’une infinité de plans inclinés contigus infiniment petits, les corps, en descendant dans la courbe QH. acquereroient la même vîtesse que s’ils étoient tombés de Q. en R.

58 §. 440. Lorsque les angles d’inclination de deux plans sont égaux, ils sont également inclinés, quoique leur hauteur & leur longueur soient différentes, car leur inclinaison dépend de l’angle qu’ils font avec l’horison, & non de leur hauteur ou de leur longueur.

59 Les plans également inclinés ABC. abc. ayant l’angle d’inclinaison B. & b. égal par supposition, & l’angle en C. & en c. étant droit dans l’un & dans l’autre, ces plans forment des triangles semblables, dont les côtés sont proportionnels (Euclide Liv. 6. prop. 4.) ainsi, AB. est à ab. comme AC. est à ac. Dans les plans également inclinés, les hauteurs sont donc proportionnelles aux longueurs; & si deux corps descendent dans deux plans ou dans plusieurs plans contigus également inclinés, les tems qu’ils employeront à tomber par ces plans, seront entr’eux en raison sous-double de leur longueur, ce [353] qui n’a pas besoin de preuve, puisque ces tems sont toujours en raison double des espaces parcourus (§. 315. n°. 4.).

60 §. 441. Si au lieu de plans contigus on imagine deux courbes composées de plans inclinés infiniment petits, les tems de la chute dans les deux courbes seront dans la même raison que dans les plans également inclinés.

61 §. 442. Il suit de tout ce qui a été dit dans ce Chapitre, que les corps en tombant par une superficie quelconque, soit courbe, soit inclinée, acquierent la vîtesse nécessaire pour remonter à la même hauteur, si leur direction venoit à être changée, sans que leur vîtesse fût diminuée, soit qu’ils remontassent par la même surperficie, ou par quelque autre dont la hauteur fût la même; car les corps en tombant par un plan incliné suivent les mêmes loix qu’en tombant perpendiculairement: or dans la chute perpendiculaire les corps acquierent des vîtesses capables de les faire remonter à la même hauteur dont ils sont descendus, & ces vîtesses leur sont ôtées en remontant de la même façon qu’elles leur avoient été imprimées en descendant, & c’est là la cause de l’oscillation des Pendules, dont je vais vous parler dans le Chapitre suivant.