Chapitre 18.

Du Repos, et de
la chute des corps sur un
plan jncliné

2 406 L’Action de la gravité est toûjours uniforme,
et toujours dirigée perpendi culairement vers le centre de
la terre (§.363. et 388.) ainsi lorsqu’un corps en tombant vers la terre change sa direction ou son
mouvement jl faut necessaire
ment que quelque cause etranger se soit meslée a
l’action de la gravité sur lui.

3 407 On a vû dans les chapitres precedents de quelle
façon la gravité agit sur les corps, lorsqu’un obstacle jnvincible
s’opose a son action, [ou] lorsqu’on jmprime une nouvelle force aux
corps qui tombent vers la terre
jl Reste a examiner dans celui
cy ce qui arrive aux graves
lorsque les obstacles qui s’opposent
a leur chute vers la terre ne s’y
oposent qu’en partie.

4 Les plans jnclinés, c’est-a-dire, les superficies planes
qui font un angle oblique avec
l’horizon sont des obstacles de
cette nature.

5 408. Si le plan A∙B∙ sur lequel le corps P∙ est posé est parallelle a l’horizon, jl
oposera un obstacle jnvincible a [288v/2] la chute de ce corps vers la terre, et le corps etant entierement
soutenu par ce plan, jl y
Resteroit en Repos pendant toute
l’eternité, a-moins que quelque force n’agit sur lui pour l’en
faire sortir.

6 409 Si ce plan etoit perpen diculaire a l’horizon, jl n’aporteroit
aucun obstacle a la chute du corps
P. et ce corps descendroit vers la
terre le long de ce plan, de
meme que si ce plan n’y etoit pas,
car l’action de la gravité etant
toûjours dirigée perpendiculairement
a l’horizon, le plan vertical AB∙
ne peut aporter aucun obstacle
a son action.

7 410 Mais lorsque ce plan est jncliné a l’horizon, comme dans
la fig. 37 alors jl s’opose en
partie a la descente du corps P.
vers la terre.

8 411 Les corps qui tombent par un plan jncliné ont donc
une gravité absolûë, et une gravité Respective.

9 Leur gravité absolûë est la force avec laquelle jls
descendroient
perpendiculairement
vers la terre, si Rien ne s’oposoit
au mouvement qui les y porte,
et leur gravité Respective est
cette meme force diminuée par
la Resistence du plan.

10 412 La ligne AC∙ perpen diculaire a l’horizon s’apelle la
hauteur du plan.

11 413 La ligne AB∙ oblique a l’horizon s’apelle la longueur
du plan.

12 414. La ligne BC∙ qui [289r/257/3] est parallelle a l’horizon s’apelle la Base du plan, et l’angle
ABC, que le plan AB, fait avec
l’horizon s’apelle l’angle d’inclinaison
de ce plan.

13 415 La gravité Respective d’un corps dans un plan jncliné
est a sa gravité absolûë comme la
hauteur du plan est a la
longueur, car ce plan ne s’opose a
la descente perpendiculaire du corps, et ne diminûë par consequent la
gravité absolûë qu’autant qu’il est
jncliné a l’horizon, puisque s’il y
etoit perpendiculaire, jl ne s’y
oposeroit point du tout (§409) donc plus ce plan est incliné a l’horizon, ce que c’est [lameme chose] moins il a de hauteur plus le corps est soutenu par le plan, et moins il a par
consequent de gravité respective
donc la gravité respective dececorps
sur ce plan est a sa gravité
absolûë comme la hauteur du plan est a la longueur.

14 416 La gravité Respective du meme corps sur des plans
differemment jnclinés est comme
l’angle d’inclinaison de ces plans,
car plus cet angle augmente, plus la raison dela hauteur du plan asa longueur et par consequent plus la gravité respective du corps est grande,
et au-contraire.

15 Ainsi la gravité Respective du corps P. est plus
grande sur le plan AD, que sur
le plan AB∙ car l’angle ADC∙
est plus grand que l’angle ABC∙.

16 417 Si l’angle d’inclinaison devenoit un angle droit, la
gravité Respective se confondroit
avec la gravité absolûë, alaquelle elle seroit egale, car alors le plan ne Resistant point a la
chute du corps, jl ne diminûëroit [289v/4] point sa gravité absolûë.

17 418 Si cet angle devenoit nul, la gravité Respective deviendroit
aussi nulle, et le corps n’auroit
plus aucune tendence a se mouvoir,
le long du plan, lequel seroit alors
horizontal.

18 419 Et si cet angle
devenoit infinimt

petit lagravité

respective dece

corps deviendroit

infinimt petite.

19 420 Un plan jncliné ne peut par lui-même empecher le corps qui est posé sur lui de descendre vers la terre jl ne peut que Retarder sa chute,
ainsi afin qu’un corps Reste en
Repos sur un plan jncliné, jl
faut que quelque autre force l’y
soutienne.

20 421 On a vû dans le ch. 13. qu’un corps qui Reste en Repos
sur un plan jncliné est tenu en equilibre par trois puissances.
Sçavoir: 1°. la Resistence du
plan qui agit selon la figure BD,
perpendiculaire a ce plan, car
le plan etant pressé selon cette
ligne par le poids P. presse ce
poids selon la meme direction,
a-cause de l’égalité de l’action, et de la Reaction. 2°. La force
de la gravité qui tire le corps perpendiculairement vers la terre. 3°. La force
exterieure qui soutient le corps,
et on a vû que ces trois puissances
pour etre en equilibre doivent
etre entr’elles comme les côtés grave
d’un triangle formé par les
lignes paralleles a leur
direction. (§334)
290r[258/5]

21 422 La Resistance du plan, et la force de la gravité qui porte
le corps vers la terre, Restent
toujours la meme sur un meme
plan, mais la direction de la force qui soutient le corps sur ce plan
peut changer, et jl faut que la
quantité de cette force soit differente
dans ses differentes directions.

22 423 Si la puissance qui soutient le corps sur le plan est
verticale come la

puissance SP

il faut qu’elle soit egale

au poids du corps car alors

elle lesoutient tout entier, et le

plan incliné n’est plus compté pour rien.

23 424 Cette force devra etre dautant
moindre que sa direction seloignera

plus de La direction verticalle, en

sorte que quand cette direction

sera paralele auplan incliné come

dans la figure,

pr que ce corps P soit soutenu sur

le plan AB il faudra que la

puissance S soit au

poids du corps P. comme la hauteur du plan est a sa longueur, car la gravité Respective de ce corps est la seule chose que
cette force ait a contrebalancer dans
cette direction (415). Et cest celle dans laquelle la force qui soutient le corps doit etre
la plus petite, car alors la resistence du plan agit entierement et parconsequent
la force qui emp[eche] le corps de tomber
adautant moins a soutenir.

24 425 A-mesure que la direction de la force qui soutient le corps seloigne du parallellisme
au plan, cette force doit etre plus
grande pour empecher le corps [290v/6] detomber
ensorte quelle doit etre plus grande dans la direction SP jusqu’ace qu’enfin si
elle devenoit perpendiculaire

au plan come la force

SP elle ne

pouroit plus quelque

grande quelle fut

empecher le corps

detomber lelong

du plan, car elle

nauroit que la

meme action que

le plan AB et par

consequent elle ne pouroit empecher ce corps detomber

(420).

25 426 Enfin cette force pouroit etre jnfiniment petite,
si le plan etoit jnfiniment peu haut, ce qui na pas besoin d’etre prouvé. [291r/259/7]

26 427 Si le poids L. (que je supose etre la force qui soutient
le corps P. sur ce plan AB) si le poids L. dis-je, au-lieu detenir le corps P en equilibre sur le plan AB∙ le
faisoit monter le long de ce plan,
tandis qu’il descendroit lui-même
perpendiculairement le long de la
ligne AC, la hauteur dont le poids
P. montera sera a la hauteur
dont le poids L. descendra comme
la hauteur du plan a sa longueur,
car suposé que le poids L. ait
fait monter le poids P∙ de B∙ en R∙
dans le plan AB, c’est comme si
ce poids P. etoit monté perpendicu
lairement de la hauteur RH,
mais le poids L. qui descend
perpendiculairement est descendu
de la hauteur entiere BR∙ or
a cause des triangles semblables
RBH, ABC, RH, est a BR, comme
AC, est a AB, (euclide liv. 6 prop.4.)
donc la hauteur dont le poids P.
est monté, est a celle dont le corps
L est descendu, comme la hauteur
du plan est a la longueur, et
les hauteurs auxquelles ces deux
poids monteront et descendront
seront en Raison Reciproque de
leur poids.

27 428 Jl est aisé de voir [291v/9] par tout ce qui vient d’etre dit pourquoi un carosse monte
plus difficilement une montagne,
qu’il ne roule sur un terrain
horizontal, car jl faut que les
chevaux soutiennent pendant qu’ils montent une partie du
poids du carosse, lequel est a
son poids total comme la hauteur
du plan, c’est a dire de la
montagne, est a sa longueur, et
c’est par la meme Raison que l’on
Roule plus aisement sur un
terrain uni que sur un terrain
Raboteux, car les jnegalités du
terrain sont autant de petits
plans jnclinés.

28 429 Deux corps P∙ et S∙ qui se tiennent en equilibre sur
des plans jnegalement jnclinés,
mais dont la hauteur est la
meme, sont entr’eux comme la
longueur des plans sur lesquels
jls s’apuïent, car jls sont alors
l’un pour l’autre ce qui seroient
des poids qui les tiendroient en
Repos sur ces plans, que dont la
direction seroit parallelle a ces
plans (§424).

29 430 Lorsqu’aucune force ne retient les corps posés sur un
plan jncliné, jls descendent necessairement vers la terre
le long de ce plan (§420) et le mouvement du corps peut etre
alors consideré comme un
mouvement composé, et le plan
dans lequel jl descend comme la diagonale du paralelogramme
formé sur ces deux directions
composantes la perpendiculaire, [292r/260]9. vers la terre que la gravité
leur jmprime a tout moment, et
l’horisontale causee par
l’inclination du plan.

30 431 Mais cette Resistence du plan qui jmprime au corps
la direction horisontale ne lui
jmprime aucun mouvement,
puisque si elle avoit son effet
entier, cet effet seroit le Repos
du corps (§408) elle ne fait
donc reellement que retarder le
mouvment que la gravité
jmprime au corps, et changer la
direction de ce mouvement.

31 432 Ainsi les corps en descendant dans un plan jncliné
n’ont d’autre mouvement que celui
que la gravité leur jmprime
pour arriver au centre de la
terre.

32 433 Puisque les corps descendent dans un plan jncliné
par la seule force de leur gravité,
jls y descendent donc d’un mouvement egalement acceleré, car la Raison
de la gravité Respective a la
gravité absolûë d’un corps sur un plan incliné etant toûjours come
la hauteur du plan a la longueur (§ 415) et la gravité
agissant toûjours uniformement,
le corps doit se mouvoir d’un
mouvement egalement acceleré
en descendant dans le plan
jncliné, pendant tout le tems qu’il
y descend.

33 434 La descente des graves dans un plan jncliné suit donc les
memes loix que dans un plan
perpendiculaire, ainsi les espaces [292v]10. qu’ils parcourent dans le plan jncliné sont comme les quarrés
de leurs tems et de leurs vitesses
l’espace qu’ils parcourent d’un mouvemt
acceleré est egal a l’espace qu’ils
parcouroient d’un mouvement uniforme pendant un tems egal,
et avec la moitié des vitesses
acquises pendant le tems, et enfin les espaces parcourus dans
les tems egaux et successifs
croissent comme les nombres jmpairs
1∙ 3∙ 5∙ 7∙ &cc. (ch. 13 § 354).

34 435 Mais si les corps suivent dans leur chute par les plans jnclinés
les memes loix que dans
leur chute perpendiculaire,
les vitesses qu’ils y acquerrent en
tems egal, le tems de leur chute, et les espaces qu’ils parcourent
ne sont pas egales aux vitesses quils acquerent etaux espaces qu’ils parcourent en tems egal
lorsqu’ils descendent perpendiculairement.

35 436 La vitesse d’un corps qui tombe dans un plan jncliné est
l’effet de sa gravité respective,
et sa vitesse dans un plan
perpendiculaire lui est jmprimée
par sa gravité absolûë, ces
vitesses doivent donc etre
differentes, puisque les forces
qui les produisent sont
differentes.

36 La vitesse que le corps acquiert en tombant dans un
plan jncliné, est donc a la
vitesse qu’il acquiert en tombant
perpendiculairement en un tems
egal, comme la hauteur du plan
est a sa longueur, c’est-a-dire comme la gravité respective
et la gravité absolûë qui
produisent ces vitesses sont entr’elles (§40[0]) [293r/261]11. et les vitesses entr’elles
la meme Raison pendant tous les
tems egaux de la chute.

37 437 Voila pourquoi galilée se servit du plan jncliné
pour découvrir les loix que les
corps suivent dans leur chute (§358) car les corps observant les memes
loix dans leur chute oblique, et
dans leur chute perpendiculaire,
et leur chute oblique s’operant
plus lentement, jl lui etoit
Beaucoup plus aisé de discerner
les espaces que les corps parcouroient
lorsqu’ils tomboient par un plan
jncliné, que lorsqu’ils tomboient
perpendiculairement.

38 438 Les espaces que le corps
parcourt entombant

dans un plan

incliné, sont ceux quil

parcoureroit en tombant

perpendiculairement dans

un tems determiné

come la vitesse du corps dans le la hauteur du plan est asa plan incliné est a sa vitesse per
pendiculaire au bout dece

tems cest a dire come la hauteur

du plan est a sa longueur

(§436)

39 439 Si de l’angle Rectangle que la hauteur perpendiculaire
du plan fait toûjours avec l’horizon
on tire une ligne BD, perpendi
culaire au plan jncliné AC, la
ligne AD, sera a la ligne AB, comme la ligne AB est a la ligne AC (euclide. liv. 6. pro. 8) or on vient de voir que l’espace
parcouru dans le plan jncliné
est a la chute perpendiculaire
comme la hauteur du plan est
a sa longueur. Le corps
parcourera donc dans le plan
jncliné l’espace AD, dans le
meme tems dans lequel jl
tomberoit perpendiculairement
de A, en B, puisque l’espace
AD, est a l’espace AB, comme
la hauteur du plan est a la
longueur, et jl n’y a que cet
espace AD, qui puisse etre
parcouru en meme tems que
l’espace AB, car jl n’y a que
cet espace AD, qui puisse
etre a l’espace AB, comme
AB, est a AC, (euc. liv. 6.
prop. 8). [294r/262]13.

40 440 Ainsi lorsqu’on connoit l’espace qu’un corps parcoureroit
dans la chute perpendiculaire en
un tems donné, on connoit celui qu’il
parcoureroit dans le meme tems
dans un plan jncliné dont
cette chute perpendiculaire seroit
la hauteur en tirant de l’angle
droit formé par la ligne verticale
et par l’horizontale une ligne
perpendiculaire au plan jncliné,
et vice versa.

41 441 C’est de cette proposition qu’on tire cette autre proposition
d’un usage tres etendu, sçavoir, que dans un cercle dont le diametre
est perpendiculaire a l’horizon, la
chute d’un corps par une corde
quelconque menée des extremités
de ce diametre a la circonferance se fait en un tems egal a celui
dans lequel le corps parcoureroit
le diametre entier.

42 4[42] Dans le cercle ABC, le diametre AB, perpendiculaire
a la ligne horizontale LM
peut etre consideré comme la hauteur
des plans jnclinés AR, AG, or les angles APB, AKB, sont droits (euclide liv. 3. prop. 31) ainsi
les lignes BK, BP, sont perpendiculaires aux plans jnclinés AR, AG, et par consequent les corps qui
tomberoient du point A,
arrivoient en meme tems en P, en K, et en B, par la § 439.

43 On prouvera de la meme façon que le corps doit
parcourir les cordes KB, RB, dans
le meme tems dans lequel jl [294v]14. parcoureroit le diametre AB,
car les cordes peuvent etre
considerés comme faisant parties
des plans jnclinés BM, BN∙
en faisant le diametre BA,
du cercle ABC, perpendiculaire
a l’horizon MP, c’est a dire en
retournant la figure.

44 De plus on peut mener par le point A, des cordes
AF, AH, egales et parallelles
aux cordes PB, KB, or ces cordes AF, AH, sont parcourûës dans
le meme tems que le diametre
AB (§441) donc les cordes
PB, KB, qui leur sont egales et parallelles seront aussi
parcourûës dans le meme tems
que ce diametre AB.

45 442 Jl suit evidemment de cette proposition que le point
dans lequel la ligne tirée
perpendiculairement de l’angle
droit au plan jncliné rencontre
le plan, est dans la circonference
du cercle dont la hauteur
du plan est le diametre.

46 443 Ainsi dans un cercle dont le diametre est perpendiculaire
a l’horizon toutes les cordes
tirées des extremités de ce
diametre a la circonferance
sont parcourûës ainsi que
le diametre lui-meme dans
un tems egal, et les corps
etant abandonnés a eux memes,
arriveront en meme tems au
point B, soit qu’ils partent
du point R, ou du point K,
ou du point O, ou du point
A, ou enfin d’un point quelconque [295r/263]15. de la circonferance ABC, car ces
cordes sont d’autant plus jnclinées
qu’elles sont plus courtes, et d’autant
plus verticales qu’elles sont plus
longues, et voila pourquoi elles
sont parcourues en tems egal. Car chacune deces cordes peut etre considerée come
un plan incliné (444).

47 444 Le tems qu’un corps emploïe a tomber dans un plan
jncliné est d’autant plus long
que ce plan est plus jncliné [295v]16. et ce tems est au tems de la
chute perpendiculaire comme la
longueur du plan est a la hauteur.

48 445 Ainsi les tems de la chute d’un corps par des plans
differement jnclinés, mais
dont la hauteur est la meme,
sont comme les longueurs de ces
plans, ce qui n’a pas Besoin de
preuve, apres ce qui vient d’etre
dit.

49 446 J’ai dit a la (§434) que les vitesses acquises dans
le plan jncliné n’etoient pas egales
aux vitesses que le corps auroit
acquis en tombant perpendiculairement
dans le meme tems, mais ce qui
est vrai dans les tems partiaux
de la chute, ne l’est plus dans
le tems total, car dans les
parties de la chute on compare
les vitesses acquises dans la
chute oblique pendant un tems
quelconque, aux vitesses que les [-] corps acquereroit en tombant perpendiculairement pendant [296r/264]17. un tems egal, mais dans la chute totale, on compare les vitesses acquises dans les tems totaux des deux
chutes, l’oblique, et la perpendiculaire, or ces tems sont jnegaux, puisque les corps tombent plus lentement par
un plan jncliné que s’ils tomboient perpendiculairement (§437) ainsi les vitesses de deux corps dont lun
tomberoit perpendiculairement, et
l’autre par un plan jncliné ne
seroient point egales dans un
tems quelconque de leur chute,
mais par cette raison meme elles
seroient egales a la fin de leur
chute; car l’espace AC; et
l’espace AD, sont parcourus dans
le meme tems (§439) et la vitesse
que ce corps a acquis en C, est
a celle qu’il a acquis in D,
comme AB, a AC, c’est-a-dire
comme la longueur du plan est a la hauteur (§439) or lorsque le corps continûë a tomber
de D, en B, sa vitesse croit
en meme raison que le tems de
son mouvement (§221) ainsi
la vitesse acquise en B, est a
la vitesse acquise en D, comme
AB, a AD, ou a AC, c’est-a-dire comme la longueur du plan est
a la hauteur, puisque les
vitesses croissent comme les tems,
et que les tems suivent cette
proportion (§444) les vitesses
acquises en B, et en C, sont
donc egales, puisqu’elles sont
l’une et l’autre a la vitesse acquise [296v]18. en D come AB a AC.

50 Cette verité n’est pas du nombre de celles dans
lesquelles la geometrie persuade
l’esprit presque malgré lui;
car jl est aisé de sentir que la
force par laquelle le corps tend
a descendre vers la terre
etant la seule qui le fasse
descendre dans le plan jncliné,
quand cette force a eu tout
son effet, elle doit avoir
communiqué au corps la meme
vitesse, quelque soit le chemin
par lequel jl soit tombé, ainsi [297r/265]19. le corps a acquis la meme vitesse,
lorsqu’il atteint la ligne horizontale
LM, soit qu’il y soit parvenu par
une ligne perpendiculaire, ou
par un plan jncliné, ou par
plusieurs plans jnclinés contigus &cc.

51 447 Un corps qui est tombé perpendiculairement de L, en I,
a acquis la meme vitesse que s’il
etoit tombé de H, en I (§446) [297v]20. ainsi s’il continuoit en I, son
mouvement par le plan jncliné
IK, son mouvement seroit le
meme que s’il etoit tombé de
H, en K.

52 Mais comme son mouvemt. est plus lent par le plan
jncliné IK, que par le plan
perpendiculaire IM (§436) un corps qui tomberoit de L, en I,
puis de I, en K, arriveroit plus
tard a l’horizon en K, que s’il
y etoit arrivé par le plan
perpendiculaire LM, quoique
par lun et par lautre chemin
jl ait acquis la meme vitesse, car jl a employé cette vitesse a
parcourir un espace plus long
dans le premier cas que dans le second.

53 448 Ainsi un corps en descendant par le plan jncliné
LM, acquert la meme
vitesse en M, que s’il etoit
tombé de P, en M, et de L, en
G, et si etant arrivé en M, jl
continuoit son chemin le long
du plan jncliné MN, jl
auroit la meme vitesse en N,
que s’il etoit tombé de q en n, et si etant arrivé en n, jl continuoit son chemin par no, jl auroit acquis en O, la meme
vitesse que s’il etoit tombé de
q, en R, ainsi un corps qui tombe par plusieurs plans
jnclinés contigus comme,
LM, MN, NO, acquerera, lorsqu’il sera pervenu a l’horizon la meme vitesse que [298r/266]21. s’il etoit tombé de la hauteur
perpendiculaire de ces plans representée
par la ligne qR, en suposant que dans les changements de direction
en M,et en N, jl n’y ait eu
aucun frottement qui ait diminué
la vitesse du corps.

54 449 Une courbe n’etant autre chose qu’une jnfinité de
plans jnclinés contigus jnfiniment
petits, les corps en descendant dans la courbe QH, acquereroient la
meme vitesse que s’ils etoient
tombés de Q, en R.

55 450 Lorsque les angles d’inclination de deux plans
sont egaux, jls sont egalement
jnclinés, quoîque leur hauteur
et leur longueur soient differentes,
car leur jnclination depend
de l’angle qu’ils font avec
l’horizon, et non de leur hauteur
et de leur longueur.

56 Les plans egalement jnclines ABC, abc, ayant l’angle d’inclinaison B, et b, egal par suposition, et l’angle en C,
et en c, etant droit dans l’un et dans l’autre, ces plans forment
des triangles semblables dont
les côtés sont proportionnels,
(euc. liv. 6. prop. 4) ainsi AB,
est a ab, comme AC, est a ac, ainsi dans les plans egalement jnclinés, les hauteurs sont proportionelles
aux longueurs; ainsi si deux corps descendent dans deux plans [298v]22. ou dans plusieurs plans contigus
egalement jnclinés et proportionnels,
les tems qu’ils employeront a
tomber par ces plans seront
entr’eux en Raison sous double
de leurs longueurs, ce qui n’a
pas Besoin de preuve, puisque
ces tems sont toûjours en raison
sous-double des espaces parcourus (§36[9] mem. 4°.)

57 451 Si au-lieu de plans contigus on jmagine deux courbes
composées de plans jnclinés
jnfiniment petits, les tems de
la chute dans les deux courbes
seront dans la meme raison que
dans les plans egalement jnclinés.

58 452 Jl suit de tout ce qui a eté dit dans ce ch. que
les corps en tombant par une
superficie quelconque, soit courbe,
soit jnclinée, acquierrent la
vitesse necessaire pour remonter
a la meme hauteur dans le meme tems, si leur direction
venoit a etre changée, soit qu’ils
Remontassent par la meme
superficie, ou par quelque
autre dont la hauteur fut
la meme, car les corps en
tombant par un plan jncliné
suivent les memes loix qu’en
tombant perpendiculairement (§434)
or dans la chute perpendiculaire
les corps acquerrent des vitesses
capables de les faire remonter
a la meme hauteur dont jls
sont descendus (§368 mem. I°) et
ces vitesses leur sont otées en Remontant de la meme façon [299r/267]23. qu’elles leur sont communiquées
en descendant (§368 [num.] [2]° et c’est là
la cause de l’oscillation des
pendules dont je vais parler
dans le ch. suivant.